[論文レビュー] The operational foundations of PT-symmetric and quasi-Hermitian quantum theory

Abhijeet Alase, Salini Karuvade+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 73被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般確率理論（GPT）の枠組みを用いて、PT対称性または準ヒルベルト量子理論が、標準量子力学を一貫して拡張可能かどうかを調査する。PT対称性のみを課すと物理的状態が自明に限定され、準ヒルベルト性では標準量子力学が回復され、両者を組み合わせると実量子系が得られる。これは、いずれの制約も非自明に標準量子力学を拡張しないことを示している。

ABSTRACT

PT-symmetric quantum theory was originally proposed with the aim of extending standard quantum theory by relaxing the Hermiticity constraint on Hamiltonians. However, no such extension has been formulated that consistently describes states, transformations, measurements and composition, which is a requirement for any physical theory. We aim to answer the question of whether a consistent physical theory with PT-symmetric observables extends standard quantum theory. We answer this question within the framework of general probabilistic theories, which is the most general framework for physical theories. We construct the set of states of a system that result from imposing PT-symmetry on the set of observables, and show that the resulting theory allows only one trivial state. We next consider the constraint of quasi-Hermiticity on observables, which guarantees the unitarity of evolution under a Hamiltonian with unbroken PT-symmetry. We show that such a system is equivalent to a standard quantum system. Finally, we show that if all observables are quasi-Hermitian as well as PT-symmetric, then the system is equivalent to a real quantum system. Thus our results show that neither PT-symmetry nor quasi-Hermiticity constraints are sufficient to extend standard quantum theory consistently.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、PT対称性または準ヒルベルトの観測可能量が、標準量子力学を一貫して拡張する物理的理論を形成できるかどうかを検討することである。
• PT対称量子理論に操作的基礎を欠いている点を扱い、状態、変換、測定、結合を一貫して扱える枠組みを提供することを目的とする。
• PT対称性や準ヒルベルト性といった制約が、標準量子力学の非自明な拡張をもたらすかどうかを調査する。
• 一般確率理論（GPT）の枠組み内で、このような拡張の数学的および操作的整合性に焦点を当てる。
• 長年の懸念である、PT対称性および準ヒルベルト量子理論の物理的妥当性に関する疑問を解消することを目的とする。

提案手法

• 著者たちは、物理理論の最も一般的な設定として一般確率理論（GPT）の枠組みを用い、PT対称性および準ヒルベルト量子系の一貫性を分析する。
• PT対称な観測可能量と整合する状態の集合を構成し、制約を満たすのは唯一の自明な物理的状態であることを示した。
• 準ヒルベルトな観測可能量に対しては、C*-代数の同型を用いて、結果の理論が数学的に標準量子力学と同型であることを示した。
• 観測可能量がPT対称かつ準ヒルベルトである系を分析し、実ヒルベルト空間で定義される実量子力学と等価であることを示した。
• 純粋状態がヒルベルト空間を形成すると仮定せず、代わりにGPT内での操作的原理から構造を導出する。
• 関数解析の道具、特にC*-代数、クレイン空間、内積構造を用いて、制約を形式化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称な観測可能量を持つ一貫した物理的理論を、標準量子力学を拡張する形で構築できるか？
• RQ2 観測可能量に準ヒルベルト性を課すと、標準量子力学の非自明な拡張が得られるか？
• RQ3 すべての観測可能量がPT対称かつ準ヒルベルトである系の操作的および数学的構造は何か？
• RQ4 PT対称量子理論のクレイン空間形式は、自己整合的かつ操作的に実現可能か？
• RQ5 追加の制約なしに、PT対称性のみで非自明な物理的理論を提供できるか？

主な発見

• 観測可能量にPT対称性のみを課すと、物理的状態が唯一つに限定され、自明で物理的に整合しない理論が得られる。
• 観測可能量が準ヒルベルト性のみで制約を受けると、結果の理論は数学的に標準量子力学と同型であり、拡張とはならない。
• 観測可能量がPT対称かつ準ヒルベルトである系は、実ヒルベルト空間で定義される実量子系と等価である。
• 準ヒルベルトのアプローチでは、状態空間が事前にヒルベルト空間であると仮定しなくても標準量子力学が回復され、その操作的基礎が強化される。
• クレイン空間形式は一貫した拡張と提案されているが、操作的解釈を提供できず、特に有限次元系には普遍的に適用できない。
• 結果として、PT対称性および準ヒルベルト性が単独でも、あるいは組み合わせても、標準量子力学の非自明な拡張を生まないことが明らかになった。