[論文レビュー] The $p$-CurlCurl : Spaces, traces, coercivity and a Helmholtz decomposition in $L^p$

Marc Laforest|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高温超伝導体のモデル化において現れるp-ラプラシアンの回転的類似であるp-カールカール問題のL^p枠組みを確立する。弱解の存在および一意性は、新規のヘルムホルツ分解とL^p空間におけるフレドリッヒの不等式を用いて証明され、古典的なH(curl)およびH(div)理論が非線形的かつ非一様楕円的設定、C^1境界を持つ領域へと拡張される。

ABSTRACT

This work provides the foundation for the finite element analysis of an elliptic problem which is the rotational analogue of the $p$-Laplacian and which appears as a model of the magnetic induction in a high-temperature superconductor operating near it's critical current. Whereas the function theory for the $p$-Laplacian requires standard results in $L^p$ Sobolev spaces, this problem requires an extension to $L^p$ spaces of the well-known $L^2$ theory for divergence free vector fields, as used in the finite element method applied to incompressible flows and electromagnetic radiation. Among other things, the analysis requires extensions to $L^p$ of the well-known $H(\operatorname{div}; Ω)$ and $H(\operatorname{curl};Ω)$, extensions of traces and Green's theorem, a Helmholtz decomposition and finally a Friedrich's inequality. In this paper, we provide a proof of the existence and uniqueness of weak solutions of our so-called $p$-CurlCurl problem. In a companion paper, the analysis is extended to treat continuous and finite element solutions of the nonlinear parabolic problem whose spatial term is the $p$-CurlCurl operator. Many of the results presented here are either already known, known in slightly different forms or are proven with the help of techniques that are already well-known. The main novelty of this paper appears to be the structured form of this $L^p$ theory and our form of the Helmholtz decomposition and of the Friedrich's inequality. In this respect, we note that some of these results can be found in the works of M. Dauge, M. Mitrea and I. Mitrea.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるC^1境界を持つ領域において、p-カールカール作用素（p-ラプラシアンの回転的類似）の完全なL^p関数解析的枠組みを構築すること。
• p ∈ (1, ∞)におけるL^p設定への古典的H(curl)およびH(div)空間、境界値、グリーンの定理の拡張を、特に超伝導体において関連する大きなp値に対して行うこと。
• L^p空間における新しい形のヘルムホルツ分解とフレドリッヒの不等式を確立し、強制性および弱解の存在を証明するために不可欠な基盤を提供すること。
• 接線型境界条件および発散自由制約を満たす定常p-カールカール問題の弱解の存在および一意性を証明すること。
• 非線形電磁モデルに取り組む応用数学者および工学技術者向けに、自己完結的かつアクセス可能な参考文献を提供すること。

提案手法

• Sobolev埋め込みと双対性を用いて、L^2に基づくH(curl)およびH(div)理論をL^p空間へと拡張し、適切なノルムを備えたW^p(curl; Ω)およびW^p(div; Ω)空間を定義する。
• 境界値およびグリーンの恒等式は、双対性および境界値定理を用いてL^pに一般化され、C^1境界の正則性により有界性および全射性が保証される。
• L^p版H(div)に対する新規のヘルムホルツ分解が構成され、W^p(curl; Ω)内のベクトル場が回転なし成分と発散なし成分に分解される。
• フレドリッヒの不等式がL^p空間における回転作用素に対して証明され、W^p(curl)半ノルムによる回転のL^pノルムの制御を可能にする、重要な強制性推定が得られる。
• p-カールカール作用素が空間X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 上で半連続的かつ強く単調的かつ強制的であることが示され、単調作用素理論への適用が可能になる。
• 弱解の存在および一意性は、リオンズ–ラクス–ミルグラムの定理および単調作用素理論を用いて確立され、逆作用素が連続であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p > 1における古典的H(curl)およびH(div)理論をL^2からL^p空間へと拡張する方法は何か、特に大きなp値に対しては？
• RQ2 特に発散自由ベクトル場に制限された場合に、L^p空間におけるヘルムホルツ分解の適切な形は何か？
• RQ3 L^p空間における回転作用素に対してフレドリッヒの不等式を確立できるか？また、p-カールカール作用素の強制性とどのように関係するか？
• RQ4 有界領域およびC^1境界を持つ領域において、p-カールカール問題の弱解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 p-ラプラシアンとは類似するが回転構造を考慮した非線形p-カールカール作用素を、変分的にどのように解析できるか？

主な発見

• p ≥ 2およびC^1境界を持つ有界領域に対して、p-カールカール問題は空間X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 内に一意な弱解を有する。
• L^p空間における新しいヘルムホルツ分解が証明され、W^p(curl; Ω)内のベクトル場が勾配成分と発散なし成分に分解される。この分解はL^p設定に適合されている。
• フレドリッヒの不等式がL^p空間における回転作用素に対して確立され、X₀に属する関数に対して強制性推定 ‖∇×u‖_{L^p}^p ≤ C‖u‖_{W^p(curl)}^p が得られる。
• 作用素Aを (A u, v) = ∫_Ω |∇×u|^{p-2} ∇×u · ∇×v dx で定義すると、Aは半連続的かつ強く単調的かつ強制的であり、単調作用素理論により存在および一意性が保証される。
• 逆作用素A⁻¹は連続であり、X₀’におけるデータSに関して解の安定性が示される。
• 本稿の分析は、放物型p-カールカール問題に適用可能な有限要素法の基礎を提供する。本稿は楕円型の場合に焦点を当てている。