[論文レビュー] The pair-flip model: a very entangled translationally invariant spin chain

Libor Caha, Daniel Nagaj|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

Quantum many-body systems参考文献 41被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ペアフラップ（PF）モデルを紹介する。これは、d≥3 のクーディットに対して √n のスケーリングを示す高次元のエンタングルメントエントロピーと、逆多項式的スペクトルギャップを有する、並進不変かつフラストレーションフリーなスピン鎖であり、クーディット間の最近接相互作用を持つ。2次元（d=2）のキュービットでは log n のエンタングルメントエントロピーを示す。このモデルはペア生成およびペアフラップ規則を用いる再書き換えハミルトニアンに基づく。著者らは、わずかな摂動によって簡併性を解消しつつエンタングルメントスケーリングを維持できると予想している。

ABSTRACT

Investigating translationally invariant qudit spin chains with a low local dimension, we ask what is the best possible tradeoff between the scaling of the entanglement entropy of a large block and the inverse-polynomial scaling of the spectral gap. Restricting ourselves to Hamiltonians with a "rewriting" interaction, we find the pair-flip model, a family of spin chains with nearest neighbor, translationally invariant, frustration-free interactions, with a very entangled ground state and an inverse-polynomial spectral gap. For a ground state in a particular invariant subspace, the entanglement entropy across a middle cut scales as $\log n$ for qubits (it is equivalent to the XXX model), while for qutrits and higher, it scales as $\sqrt{n}$. Moreover, we conjecture that this particular ground state can be made unique by adding a small translationally-invariant perturbation that favors neighboring letter pairs, adding a small amount of frustration, while retaining the entropy scaling.

研究の動機と目的

• 低次元で並進不変なスピン鎖におけるエンタングルメントエントロピーのスケーリングと逆多項式的スペクトルギャップのトレードオフを探ること。
• 最小の局所次元を用いて、高次元の基底状態エンタングルメントを有するフラストレーションフリーで並進不変なハミルトニアンを構築すること。
• このような高次元エンタングルメント状態が、エンタングルメントスケーリングを変えることなく、小さな並進不変摂動によって一意化可能かどうかを調査すること。
• エンタングルメントとギャップスケーリングの限界に近いモデルを同定し、NLTS予想および量子複雑性に関連付けること。

提案手法

• 最近接相互作用と並進不変な射影子項を用いた再書き換えハミルトニアンを設計し、クーディット上でペアフラップおよびペア生成規則を強制する。
• キュービット（d=2）、クータイト（d=3）、およびそれ以上の次元に対してモデルを構築し、モッツキンおよびフレドキン鎖にインspiredされた形式的枠組みを用いるが、移動項を含まない。
• 組合せ的語のモデルを用いて基底状態部分空間を分析し、隣接するペアを持つクーディット状態の系列に対応させる。
• 数値的および解析的技法を用いて、完全に還元可能な語における隣接ペアの平均数とその分散を計算し、n に比例する平均値の周囲に集中していることを示す。
• 隣接ペアを好む摂動を適用し、簡併性を破る。また、このような小さな並進不変摂動のもとでもエンタングルメントエントロピーのスケーリングが安定していると予想する。
• 対称性と再書き換え規則を活用し、代替手法を用いてスペクトルギャップのより強い下界が得られる可能性を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元（d=2,3）のフラストレーションフリーで並進不変なスピン鎖が、高次元エンタングルメントエントロピーのスケーリングと逆多項式的スペクトルギャップを同時に達成できるか。
• RQ2 このようなモデルで達成可能な最大エンタングルメントエントロピーのスケーリングは何か。また、クーディット次元 d に依存するか。
• RQ3 d≥3 に対して √n のエンタングルメントエントロピーを持つ簡併基底状態が、エンタングルメントスケーリングを変えることなく、小さな並進不変摂動によって一意化可能か。
• RQ4 PFモデルのエンタングルメントエントロピーは、モッツキン鎖やフレドキン鎖といった既知のモデルと比較して、構造的および耐障害性の観点でどのように異なるか。
• RQ5 PFモデルのパラメータ変形を、変形されたモッツキン／フレドキン鎖に類似して構築可能か。その際、重要な性質を保持できるか。

主な発見

• クータイトおよびそれ以上の次元（d≥3）では、中央の切断における基底状態のエンタングルメントエントロピーは √n に比例するスケーリングを示し、キュービット鎖で見られる log n のスケーリングを著しく上回る。
• キュービット（d=2）では、エンタングルメントエントロピーは log n に比例するスケーリングを示し、XXXモデルや他の臨界系と一致する。
• PFモデルのスペクトルギャップは系サイズの逆多項式として閉じており、臨界的または準臨界的挙動と整合的である。
• 数値的証拠により、完全に還元可能な語における隣接ペアの数の分布は、3(n+1)/4 に非常に集中しており、分散は O(√n) である。これは平均構造の安定性を示している。
• 著者らは、隣接ペアを好む小さな並進不変摂動を追加することで、簡併性を解消しつつ d≥3 に対して √n のエンタングルメントスケーリングを維持できると予想している。
• このモデルは真正に並進不変でフラストレーションフリーであり、モッツキン鎖やフレドキン鎖とは異なり、簡併性の破壊に境界項を必要としない。