[論文レビュー] The Parametrized Relativistic Particle and the Snyder space-time

Juan M. Romero, J. David Vergara|ArXiv.org|Feb 6, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換時空におけるシュナイダー粒子の第一階作用を、パラメータ化された相対論的粒子形式を用いて提案する。一貫した境界条件と正準ゲージを課すことにより、シュナイダー代数を実現するディラック括弧を導出し、自由相対論的粒子の第二階動力学と整合する共変的・縮約位相空間作用が得られる。

ABSTRACT

Using the parametrized relativistic particle we obtain the noncommutative Snyder space-time. In addition, we study the consistency conditions between the boundary conditions and the canonical gauges that give origin to noncommutative theories. Using these results we construct a first order action, in the reduced phase-space, for the Snyder particle with momenta fixed on the boundary.

研究の動機と目的

• パラメータ化された相対論的粒子と非可換シュナイダー時空の間の一貫した枠組みを確立すること。
• 非可換場の理論における境界条件とゲージ選択の不整合を解消すること。
• 自由相対論的粒子の力学を保存する縮約位相空間における第一階作用を構築すること。
• ディラック括弧による正準量子化と整合的で共変な理論を保証すること。
• 境界上で運動量を一貫して固定できることを示し、運動量空間形式を可能にすること。

提案手法

• 一般に運動量に依存するシフトを含むゲージ条件を用いた質量ゼロのパラメータ化された相対論的粒子作用を用いる。
• 非可換性を生成するために、正準ゲージ条件 $ \chi_2 = \eta + \alpha P_\mu X^\mu - f(\tau) \approx 0 $ を課す。
• 第二類制約 $ \chi_1 = \phi $, $ \chi_2 $ からディラック括弧を導出し、位相空間代数と整合することを保証する。
• 第二類制約を消去し、境界上で運動量 $ P_\mu $ を固定することで、縮約位相空間作用 $ S_{rsp} $ を構築する。
• 運動方程式 $ \dot{P}_\beta = 0 $ が作用から導かれ、自由相対論的粒子の力学と一致することを確認する。
• 代数 $ \{X_\mu, X_\nu\}^* = \frac{1}{l^2} L_{\mu\nu} $ がシュナイダー代数を実現することを示し、$ l $ が運動量に依存することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空をもたらすゲージ条件を課した際、境界条件をどのように一貫して選べるか。
• RQ2 パラメータ化された相対論的粒子は、シュナイダーパarticleの第一階作用を構築する上で果たす役割は何か。
• RQ3 自由相対論的粒子の第二階力学と整合する縮約位相空間における第一階作用を導出可能か。
• RQ4 シュナイダー代数における運動量に依存するスケール $ l $ は、ディラック括弧の構造と量子化にどのように影響するか。
• RQ5 選択された境界変数（例：運動量）が非可換位相空間で完全な可換集合を形成するための条件は何か。

主な発見

• ディラック括弧 $ \{X_\mu, X_\nu\}^* = \frac{1}{l^2} L_{\mu\nu} $, $ \{X_\mu, P_\nu\}^* = \eta_{\mu\nu} + \frac{1}{l^2} P_\mu P_\nu $, および $ \{P_\mu, P_\nu\}^* = 0 $ は、$ l^2 = \frac{1}{\alpha}(1 - \alpha P_\mu P^\mu) $ を用いてシュナイダー代数を実現する。
• 作用 $ S_{rsp} = \int d\tau \left( X^\mu (\alpha P_\mu P^\beta - \delta_\mu^\beta) \dot{P}_\beta - f(\tau) P_\mu \dot{P}^\mu \right) $ は、シュナイダーパarticleの第一階・縮約位相空間作用である。
• 運動方程式 $ \dot{P}_\beta = 0 $ は作用から導かれ、制約 $ P_\mu P^\mu = \text{const} $ と整合的である。
• 運動量 $ P\_\mu $ は境界上で完全な可換集合を形成し、作用における固定が正当化され、正準量子化と整合的である。
• 非可換性のスケールを定めるパラメータ $ l $ は運動量に依存し、すべての生成子 $ L_{\mu\nu} $ および $ P_\mu P_\nu $ と可換であり、順序の曖昧さを回避する。
• この構成は初期から共変的であり、パラメータ化された相対論的粒子を介してシュナイダー時空を直接実現し、恣意的な仮定を避ける。