[論文レビュー] The phase diagram of the Hubbard model by Variational Auxiliary Field quantum Monte Carlo

Sandro Sorella|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 27

ひとこと要約

系統的に改良可能な変分波動関数（VAFQMC）を用いた2Dハバード模型の相図を、最適化された平均場と相関を組み込んだauxiliary-field QMCを用いてマッピングし、ストライプおよびd波超導傾向を含む相図を描く。

ABSTRACT

A systematically improvable wave function is proposed for the numerical solution of strongly correlated systems. With a stochastic optimization method, based on the auxiliary field quantum Monte Carlo technique, an effective temperature Teff is defined, probing the distance of the ground state properties of the model in the thermodynamic limit from the ones of the proposed correlated mean-field ansatz. In this way their uncertainties from the unbiased zero temperature limit may be estimated by simple and stable extrapolations well before the so called sign problem gets prohibitive. At finite Teff the convergence of the energy to the thermodynamic limit is indeed shown to be possible in the Hubbard model already for relatively small square lattices with linear dimension L ~10, thanks to appropriate averages over several twisted boundary conditions. Within the estimated energy accuracy of the proposed variational ansatz, two clear phases are identified, as the energy is lowered by spontaneously breaking some symmetries satisfied by the Hubbard Hamiltonian: a) a stripe phase where both spin and translation symmetries are broken, and b) a strong coupling d-wave superconducting phase when the particle number is not conserved and global U(1) symmetry is broken. On the other hand the symmetric phase is stable in a wide region at large doping and small coupling.

研究の動機と目的

• 強く相関した系に対して系統的に改良可能な変分波動関数を開発する。
• 変分モンテカルロとauxiliary-field量子モンテカルロを組み合わせて基底状態へ射影する。
• 有効温度 T_eff およびねじれ境界条件を用いて新熱力学極限への安定した外挿を可能にする。
• 2Dハバード模型におけるエネルギー最適化された平均場仮定と相関改善を通じて競合する相を特定する。

提案手法

• 対称性破れを伴う平均場 | abla psi_tau> を exp[-(tau/2)(H_MF(alpha) + V)] として定義し、パラメータ化された H_MF(alpha) を用いる変分仮定を定義する。
• 相互作用項を抽象場QMCフレームワーク内で扱うために離散的なHubbard-Stratonovich変換を用いる。
• 投影誤差を最小化しつつ tau を固定に保つために最適化された時間ステップを用いた非一様なTrotter分解を適用する。
• 勾配を得るためにAdjoint Algorithmic Differentiationを用いてエネルギー最小化により alpha と alpha_0（平均場および投影パラメータ）を最適化する。
• 熱力学極限への収束を加速させ、Brillouin帯のねじれを平均化するためにねじれ平均境界条件（TABC）を適用する。
• auxiliary field 設定をサンプリングしてエネルギーと観測量を計算し、ground-state 特性を推定するために有効温度 T_eff = 1/tau で安定的な外挿を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系統的に改良可能な変分auxiliary-fieldアプローチを用いた場合、2Dハバード模型でどのような相が現れるか。
• RQ2 VAFQMCはドーピングと結合Uの関数としてストライプ秩序とd波超導傾向を識別できるか。
• RQ3 TABCと有限-T_eff 外挿の下でエネルギーが熱力学極限へどれくらい速く、どれだけ信頼性高く収束するか。
• RQ4 変分仮定は熱力学極限におけるベンチマーク結果（例: DMRG, iPEPS）とどの程度比較可能か。

主な発見

• VAFQMCは競合する2つの相を見つける。すなわち、スピンと格子対称性を破るストライプ相と、粒子数が固定されていない場合の強結合d波超導相。
• 大規模な次元（2D）系ではストライプとd波状態がエネルギー的に非常に接近しており、特定のドーピングとパラメータでストライプがエネルギー的に有利になることがある。
• 提案された仮定によるエネルギーのT_eff → 0 への外挿はベンチマーク手法と良い一致を示し、熱力学極限における報告されたアプローチの中でしばしば最良の変分エネルギーを提供する。
• 適切な境界条件とねじれ平均化を用いた場合、適切なクラスタサイズで投影時間の迅速な収束を示す。
• U/t = 8 およびドーピングが約1/8のとき、特定の幅（例: W = 8）のストライプ状態が有利な平均場構成として現れ、一方で均一なd波状態はシステムサイズと境界条件によって依然競合的である。
• DMRG および iPEPS のベンチマークと比較して、VAFQMCは熱力学極限において競争力が高い、あるいは優れた変分エネルギーを提供しており、強く相関する格子モデルのベンチマークツールとしての有効性を強調している。