[論文レビュー] The prediction distribution of a GARCH(1,1) process

Karim M. Abadir, Alessandra Luati+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正規のノイズを持つGARCH(1,1)過程のhステップ先予測密度の正確な解析的表現を導出する。非対称なニュースインパクトを含む。明示的な密度関数により、期待ショートフォールや分位数などのリスク測度を正確に計算でき、有限の予測期間における非正規性および尾部挙動を定量化する。hが増加するにつれて、密度はPareto尾を持つ定常分布に収束することが示される。

ABSTRACT

This paper derives the analytic form of the $h$-step ahead prediction density of a GARCH(1,1) process under Gaussian innovations, with a possibly asymmetric news impact curve. The analytic form of the density is novel and improves on current methods based on approximations and simulations. The explicit form of the density permits to compute tail probabilities and functionals, such as expected shortfall, that measure risk when the underlying asset return is generated by a GARCH(1,1). The prediction densities are derived for any finite prediction horizon $h$. For the stationary case, as $h$ increases the prediction density converges to a distribution with Pareto tails which whose form has been already described in the literature. The formulae in the paper characterize the degree of non-gaussianity of the prediction distribution, and the distance between the tails of the finite horizon prediction distribution and the ones of the stationary distribution.

研究の動機と目的

• 正規のノイズを持つGARCH(1,1)過程のhステップ先予測密度の正確な解析的表現を提供すること。
• GARCHモデルにおけるリスク測定のためのシミュレーションベースや近似手法の改善。
• 予測分布の非正規的特徴、特に尾部における特徴を同定すること。
• 予測期間hを増加させた際の有限期間予測密度が定常分布に収束する様子を分析すること。
• 有限期間予測密度と定常予測密度の尾部間の距離を定量化すること。

提案手法

• 正規のノイズを持つGARCH(1,1)過程のhステップ先予測の正確な確率密度関数を導出する。
• 解析的導出に非対称なニュースインパクト曲線を組み込む。
• 任意の有限hに対して予測密度を閉形式で表現するための数学的技法を用いる。
• 予測密度の尾部挙動を分析し、定常状態ではPareto尾を持つ分布に収束することを示す。
• 有限期間予測密度の尾部構造を定常分布の尾部と比較する。
• 導出した密度関数を用いて期待ショートフォールや尾部確率などの関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規のノイズと非対称なニュースインパクトを持つGARCH(1,1)過程のhステップ先予測密度の正確な解析的表現は何か？
• RQ2 有限の予測期間における予測分布の非正規性、特に尾部における特徴はどのように現れるか？
• RQ3 予測期間hを増加させた際の予測密度の極限形は何か？また、既知の定常分布とどのように関係するか？
• RQ4 有限期間予測密度の尾部と定常分布の尾部はどのように異なるか？
• RQ5 導出した密度関数を用いることで、シミュレーションベースの手法よりも正確に期待ショートフォールなどのリスク測度を計算できるか？

主な発見

• 本稿では、正規のノイズと非対称なニュースインパクトを持つGARCH(1,1)過程のhステップ先予測密度の、初めての正確な解析的表現を導出した。
• 有限期間予測密度は正規分布よりも重い尾部を示し、導出した式により非正規的特徴が定量的に評価できる。
• hが増加するにつれて予測密度はPareto型尾を持つ定常分布に収束し、既存の文献結果と整合的である。
• 有限期間予測密度と定常予測密度の尾部間の距離は、hが増加するにつれて減少し、収束が確認される。
• 明示的な密度関数により、期待ショートフォールや尾部確率といったリスク関数を正確に計算可能となり、シミュレーションベースの手法を凌駆する。
• 導出した式により、任意の有限hにおける予測分布の非正規的度合い、特に尾部における非正規性の程度を定量化できる。