[論文レビュー] The Principle of Least Action for Fields Containing Higher Order Derivatives

Nguyễn Đức Minh|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、高次微分を含むラグランジアンから生じる表面項が、最小作用の原理において無視できないことを確立している。表面項は運動方程式、エネルギー運動量テンソル、角運動量テンソルに直接的な影響を与える。2次元重力理論と開放剛体ストリングモデルにおける境界条件の分析を通じて、重力理論ではディリクレ境界条件が表面項を抑制するのに対し、ストリング理論では表面項が運動方程式を変更し、エネルギー保存則を破る。ただし、表面項を明示的に取り入れればこれを回避できる。

ABSTRACT

When generalizing the principle of least action for fields containing higher order derivatives, in general, it is not possible not to take into account the surface integrated term since it gives direct contribution to the forms of the equations of motion,of the energy-momentum tensor and of the angular-momentum tensor. This result is applied to two examples. In two dimensional gravity, it is essential to supplement Dirichclet condition for the surface integrated terms to vanish. On the contrary, in Hamiltonian description of the open rigid string, the equation of motion is modified by surface integrated terms. Boundary conditions are classified according to forms of certain equations of motion.

研究の動機と目的

• 高次微分を含む場の理論における最小作用の原理における表面項統合項の役割を明確化すること。
• 表面項が存在する場合の正しいエネルギー運動量テンソルおよび角運動量テンソルの形式を導出すること。
• 表面項の影響を抑制するか、あるいは変更する境界条件を分類すること。
• 表面項が2次元重力理論および開放剛体ストリングモデルにおける運動方程式と保存則にどのように影響を与えるかを示すこと。

提案手法

• 第二階微分を含むラグランジアンに対するオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、部分積分を用いて表面項を明示的に追跡する。
• ネーターの定理を適用して保存電流（エネルギー運動量テンソルおよび角運動量テンソル）を導出するが、境界項の寄与も含める。
• 2次元重力理論にディリクレ境界条件を適用し、表面項を抑制することで、標準的な保存則が成り立つようにする。
• 開放剛体ストリング理論に特定の境界条件（場およびその微分の変化がゼロ）を適用し、非ゼロの表面寄与を持つ修正された運動方程式を導出する。
• ハミルトニアンの時間微分を計算することで、表面項が含まれていない限りエネルギーが保存されないことを示す。
• エネルギー運動量テンソルの構造とその時間成分を分析し、表面項が保存エネルギーにどのように影響を与えるかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次微分を含む場の理論における表面項統合項を、最小作用の原理において無視できる境界条件は何か？
• RQ2 表面項は、第二階微分を含む場の理論におけるエネルギー運動量テンソルの形とその保存にどのように影響を与えるか？
• RQ3 標準的な境界条件が適用されても、なぜ開放剛体ストリングモデルでは表面項が消えないのか。また、それらは運動方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非ゼロの表面項を持つ系において、ハミルトニアン関数は保存エネルギーとどのように異なるか？
• RQ5 高次微分を含む場の理論における表面項は、角運動量テンソルをどのように修正するか？

主な発見

• 2次元重力理論では、場にディリクレ境界条件を課すことで、表面項統合項が消え、標準的な保存則が成り立つ。
• 開放剛体ストリング理論では、標準的な境界条件のもとでも表面項が消えず、運動方程式が修正され、単純なエネルギー保存則が破られる。
• 作用原理から得られるエネルギー運動量テンソルには、明示的な表面寄与が含まれており、時間成分および保存エネルギー全体に影響を与える。
• ハミルトニアン関数は、式 (29) におけるハミルトニアンの時間微分がゼロでないことで示されるように、表面項によって保存エネルギーとは異なる。
• 角運動量テンソルは表面項によって修正され、その保存は境界条件に依存する。これは式 (10) の境界積分から明らかである。
• 開放剛体ストリングの運動方程式 (23) は、表面寄与により第四階微分項と非線形項を含むが、α = 0（ナムブ＝ゴトウ極限）のときのみこれらが消える。