[論文レビュー] The prismatization of $p$-adic formal schemes

Bhargav Bhatt, Jacob Lurie|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有界 $p$-進形式的スキーム $X$ に対して Cartier–Witt スタック $ olimits\operatorname{WCart}⁡_X$ を導入し、やや弱い条件下で $ olimits\operatorname{WCart}⁡_X$ 上の準連接層と $X$ 上のプリズマティック・クリスタルの間の同値を確立する。この構成は、導来代数的幾何とアニメートド $ olimits\delta$-環を活用しており、プリズマティック・コホモロジーのスタック的再解釈を可能にするとともに、gerbe と導来変形理論を用いたホッジ＝トート比較の概念的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this note, we introduce and study the Cartier--Witt stack $\mathrm{WCart}_X$ attached to a $p$-adic formal scheme $X$ as well as some variants. In particular, we reinterpret the notion of prismatic crystals on $X$ and their cohomology in terms of quasicoherent sheaf theory on $\mathrm{WCart}_X$ in favorable situations.

研究の動機と目的

• $ olimits\operatorname{WCart}$ を $ olimits\mathbf{Z}_p$ 上から任意の有界 $p$-進形式的スキーム $X$ に一般化して、プリズマティック・クリスタルのスタック的記述を拡張すること。
• 相対的プリズマティック・サイト $(Y/A)\Delta$ 上のプリズマティック・クリスタルと相対的 Cartier–Witt スタック $ olimits\operatorname{WCart}_{Y/A}$ 上の準連接層の間の対応関係を確立すること。
• ホッジ＝トート比較同型を、ねじれた接バンドルの PD-包のバンドされた gerbe を用いた幾何的構造から概念的に説明すること。
• アニメートド $ olimits\delta$-環と導来形式的 $ olimits\delta$-スキームを用いた導来フレームワークを構築し、相対的プリズマティック・コホモロジーの体系的取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 導来代数的幾何とアニメートド $ olimits\delta$-環を用いて、$p$-冪零環上の関手として Cartier–Witt スタック $ olimits\operatorname{WCart}_X$ を構成する。
• 有界プリズマ $A$ から $ olimits\operatorname{WCart}$ への写像を用いて、$ olimits\operatorname{WCart}$ 上でのファイバー積構成により $ olimits\operatorname{WCart}_X$ を定義する。
• 絶対的プリズマティック・サイト $X^\Delta$ を用いて、$ olimits\operatorname{WCart}_X$ とプリズマティック・クリスタルの幾何を関連付ける。
• 有界プリズマ $(A,I)$ と $p$-完全に滑らかな $ olimits\overline{A}$-スキーム $Y$ に対して、相対的 Cartier–Witt スタック $ olimits\operatorname{WCart}_{Y/A}$ を導入し、絶対的ケースを一般化する。
• $ olimits\infty$-圏的バール＝ベックの定理を適用し、アニメートド $ olimits\delta$-環の $ olimits\infty$-圏が、コモノイド $\operatorname{Forget} \circ \operatorname{Cofree}$ 上の代数の $ olimits\infty$-圏と同一視されることを特定する。
• ホッジ＝トート・スタック $ olimits\operatorname{WCart}^{\mathrm{HT}}_{\mathrm{Spf}(R)/A}$ を、ねじれた接バンドルの PD-包のバンドされた gerbe として用い、ホッジ＝トート比較同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ olimits\operatorname{Spf}(\mathbf{Z}_p)$ 上のプリズマティック・クリスタルのスタック的記述を、任意の有界 $p$-進形式的スキーム $X$ に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 導来 Cartier–Witt スタック $ olimits\operatorname{WCart}_X$ と $X$ の相対的プリズマティック・コホモロジーの間の正確な関係は何か？
• RQ3 ホッジ＝トート比較同型は、クリスタル比較への還元ではなく、スタック上の幾何的構造から導出可能か？
• RQ4 アニメートド $ olimits\delta$-環と導来形式的 $ olimits\delta$-スキームの理論は、$ olimits\operatorname{WCart}_X$ の体系的構成をどのように支援するか？
• RQ5 $ olimits\operatorname{WCart}_{Y/A}$ スタックは、相対的プリズマティック・コホモロジーを幾何化するために果たす役割は何か？

主な発見

• スタック $ olimits\operatorname{WCart}_X$ は $X$ 上のプリズマティック・クリスタルの幾何的モデルを提供し、やや弱い仮定の下で $ olimits\operatorname{WCart}_X$ 上の準連接層は、絶対的プリズマティック・サイト $X^\Delta$ 上の $(p,I)$-完全クリスタルと同値である。
• $X = \mathrm{Spf}(R)$ で $R$ がペルフェクトイド環であるとき、$ olimits\operatorname{WCart}_X$ は $\mathrm{Spf}(A)$ に同型であり、$(A,I)$ は $R$ に対応するペルフェクト・プリズマである。これにより、ペルフェクトイド環とプリズマの直接的な関係が確立される。
• ホッジ＝トート比較同型 $H^*(\overline{\mathbbl{\Delta}}_{R/A}) \simeq \wedge^*\Omega^1_{R/\overline{A}}\{-1\}$ は、ホッジ＝トート・スタック $ olimits\operatorname{WCart}^{\mathrm{HT}}_{\mathrm{Spf}(R)/A}$ がねじれた接バンドルの PD-包のバンドされた gerbe として構造を持つことから自然に導かれる。
• 導来相対プリズマティゼーション $ olimits\operatorname{WCart}_{Y/A}$ は、シントミック性の仮定の下で、その $ olimits\mathcal{O}$-コホモロジーによりサイト論的相対プリズマティック・コホモロジー $ olimits\operatorname{R\Gamma}^{\mathrm{site}}\Delta(Y/A)$ を計算する。
• アニメートド $ olimits\delta$-環の $ olimits\infty$-圏は、コモノイド $\mathrm{Forget} \circ \mathrm{Cofree}$ 上の代数の $ olimits\infty$-圏と同値であり、ウィット環関手 $W(R)$ は自然に $ olimits\delta$-構造を持つ。
• ホモトピー同値 $\mathrm{Hom}_{\delta\mathrm{CAlg}^{\mathrm{an}}}(A, W(R)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{CAlg}^{\mathrm{an}}}(A,R)$ は、制限写像 $\mathrm{Res}: W(R) \to R$ を通した合成により実現され、$W(R)$ が $ olimits\delta$-環としての普遍性が裏付けられる。