[論文レビュー] The $q$-tangent and $q$-secant numbers via continued fractions

Heesung Shin, Jiang Zeng|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$(p,q)$-連分数展開を用いて$q$-接線数と$q$-正割数の統一的な枠組みを導入し、2つの既存のオイラーの接線数および正割数の$q$-類似を一般化する。固定点、弱上昇、交差、ネスト、逆転を含む五重統計量を用いた置換の上での考察により、解析的および組合せ的証明が得られ、留数計算と符号反転置換を用いて$q$-オイラー数の偶奇独立の公式が確立される。

ABSTRACT

It is well known that the $(-1)$-evaluation of the enumerator polynomials of permutations (resp. derangements) by the number of excedances gives rise to tangent numbers (resp. secant numbers). Recently, two distinct $q$-analogues of the latter result have been discovered by Foata and Han, and Josuat-Vergès, respectively. In this paper, we will prove some general continued fractions expansions formulae, which permits us to give a unified treatment of Josuat-Vergès' two formulae and also to derive a new $q$-analogue of the aforementioned formulae. Our approach is based on a $(p,q)$-analogue of tangent and secant numbers via continued fractions and also the generating function of permutations with respect to the quintuple statistic consisting of fixed point number, weak excedance number, crossing number, nesting number and inversion number. We also give a combinatorial proof of Josuat-Vergès' formulae by using a new linear model of derangements.

研究の動機と目的

• 2つの既存のオイラーの接線数および正割数の$q$-類似を、共通の$(p,q)$-連分数枠組みで統一すること。
• 置換における五重統計量（固定点数、弱上昇数、交差数、ネスト数、逆転数）の生成関数を拡張し、新たな$q$-類似を導出すること。
• 新しいデランジュメントの線形モデルと符号反転置換を用いて、ジョサワ・ヴェルジューズの公式の組合せ的証明を提供すること。
• 複素数留数分解と超幾何型恒等式を用いて、$q$-オイラー数の偶奇独立の公式を導出すること。

提案手法

• 連分数展開を用いて、古典的結果を一般化する$(p,q)$-接線数および正割数の類似を構築すること。
• 置換における五重統計量（固定点数、弱上昇数、交差数、ネスト数、逆転数）を導入すること。
• 留数計算や部分分数分解を含む解析的手法を用いて、生成関数および閉形式を導出すること。
• 非固定点のキャンセルを実現するデランジュメント上の符号反転置換$\psi$を構成し、組合せ的恒等式を証明すること。
• フラナコン＝ヴィエンノの双対性およびフォアタ＝ザイベルベルグの双対性を用いて、置換の統計量と格子道および連分数を関連させること。
• 有理生成関数を複素部分分数に分解し、$q$-ポッホハマー記号を用いて簡略化することで、$E_n(q)$の偶奇独立の公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接線数および正割数の両方の$q$-類似を一般化する統一的$(p,q)$-連分数枠組みを構築できるか？
• RQ2 置換における五重統計量（固定点、弱上昇、交差、ネスト、逆転）の同時分布は、$q$-接線数および$q$-正割数とどのように関係するか？
• RQ3 新しいデランジュメントの線形モデルと符号反転置換を用いて、ジョサワ・ヴェルジューズの$q$-公式の組合せ的証明が可能か？
• RQ4 偶数および奇数のケースを統一する、偶奇独立の$q$-オイラー数の公式が存在するか？
• RQ5 連分数を用いて導出された新しい$q$-類似は、既存の文献における既知の恒等式と一致するか？

主な発見

• 本稿は、$(p,q)$-連分数を用いた$q$-接線数および$q$-正割数の統一的解析的枠組みを確立し、フォアタ＝ハンおよびジョサワ・ヴェルジューズの$q$-類似を一般化する。
• 符号反転置換$\psi$を用いたデランジュメント上で、ジョサワ・ヴェルジューズの公式の新しい組合せ的証明が与えられ、固定点が交互置換に対応する。
• 五重統計量による置換の生成関数は、$q$-接線数および$q$-正割数の生成関数を統合する$q$-オイラー多項式の類似を導出する。
• 複素数留数分解を用いて、$q$-オイラー数の偶奇独立の公式が導出され、$q$-ポッホハマー記号を用いた$m$および$k$に関する和として表現される。
• 導出された$E_n(q)$の公式は、$q=1$のときオイラーの元の恒等式に還元され、古典的結果と整合性が確認される。
• 本手法により、$\sum_{\sigma \in \mathfrak{D}_n^*} (-1)^{\operatorname{ndes}\sigma} q^{\operatorname{MAD}\sigma} = \sum_{\sigma \in \mathfrak{A}''_n} (-1)^{\operatorname{ndes}\sigma} q^{\operatorname{MAD}\sigma}$が正当化され、組合せ的解釈が裏付けられる。