[논문 리뷰] The Quantum and Classical Complexity of Translationally Invariant Tiling and Hamiltonian Problems

Daniel Gottesman, Sandy Irani|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 시스템 크기 N에만 입력을 암묵적으로 포함시켜, 이동 대칭성을 갖는 타일링 및 하미르토니안 문제의 계산적 난이도를 입증한다. 고정된 타일 규칙과 경계 조건에도 불구하고, N×N 격자 위의 고전적 타일링 문제는 NEXP-완전하고, 1차원 양자 하미르토니안 문제는 QMA_EXP-완전하다. 이는 대칭적이며 물리적으로 자연스러운 시스템조차도 보편 계산을 인코딩할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We study the complexity of a class of problems involving satisfying constraints which remain the same under translations in one or more spatial directions. In this paper, we show hardness of a classical tiling problem on an N x N 2-dimensional grid and a quantum problem involving finding the ground state energy of a 1-dimensional quantum system of N particles. In both cases, the only input is N, provided in binary. We show that the classical problem is NEXP-complete and the quantum problem is QMA_EXP-complete. Thus, an algorithm for these problems which runs in time polynomial in N (exponential in the input size) would imply that EXP = NEXP or BQEXP = QMA_EXP, respectively. Although tiling in general is already known to be NEXP-complete, to our knowledge, all previous reductions require that either the set of tiles and their constraints or some varying boundary conditions be given as part of the input. In the problem considered here, these are fixed, constant-sized parameters of the problem. Instead, the problem instance is encoded solely in the size of the system.

연구 동기 및 목표

• 고정된 규칙과 대칭성에도 불구하고 이동 대칭성을 갖는 타일링 및 하미르토니안 문제의 계산적 난이도가 존재하는지 조사하기 위해.
• 입력으로 시스템 크기 N만 주어지고 이는 2진수로 표현될 때, 이러한 문제의 복잡성이 여전히 높은지 확인하기 위해.
• 고정된 타일 집합과 경계 조건이 존재하더라도, 유일하게 시스템 크기만을 통해 계산을 인코딩함으로써 문제의 난이도 유지 여부를 보여주기 위해.
• 기존의 난이도 결과를 입력이 최소화되고 물리적으로 자연스러운 설정으로 확장하여, 임의의 매개변수화를 피하기 위해.

제안 방법

• 기존의 난이도가 알려진 문제들(예: Turning 기계 시뮬레이션)에서, 고정된 타일 집합과 경계 조건을 갖는 타일링 문제로의 축소.
• 1차원 체인에서 시계 트랙과 계산 단계를 구성하여 Turning 기계의 진화를 시뮬레이션.
• 양자 하미르토니안에서 에너지 페널티를 사용하여 정확한 계산을 강제하고 잘못된 구성 상태를 배제.
• 시스템 행동 제어 및 제약 조건 강제를 위해 경계 조건(유한 체인, 사이클, 반사 대칭성)을 설계.
• 입력 매개변수를 최소화하기 위해 계산을 시스템 크기, 즉 이진수로 표현된 N에 암묵적으로 인코딩.
• 표준 QMA-완전성 기법을 적용하여 잘못된 구성 상태에 대해 에너지 갭이 Ω(1/N⁵)의 비율로 스케일링됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력으로 시스템 크기 N만 변하는 경우, 이동 대칭성을 갖는 타일링 문제는 NEXP-완전이 될 수 있는가?
• RQ2 1차원 이동 대칭성 양자 하미르토니안의 기본 상태 에너지 문제는 QMA_EXP-완전인가?
• RQ3 고정된 규칙과 입력으로 시스템 크기 N만을 갖는 시스템에서도 계산의 보편성이 인코딩될 수 있는가?
• RQ4 타일 집합이나 경계 조건과 같은 변수 매개변수가 없는 경우, 타일링 및 하미르토니안 문제의 난이도가 유지되지 않는가?
• RQ5 대칭성(예: 반사, 회전)이 이러한 시스템에서 계산 난이도를 유지하거나 파괴하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고정된 타일 집합과 경계 조건을 갖는 N×N 격자 위의 고전적 타일링 문제는, 입력으로 N만 제공되더라도 NEXP-완전하다.
• 고정된 상호작용을 갖는 N 개의 입자로 이루어진 1차원 체인의 양자 하미르토니안 문제는 입력 크기가 log N일 때 QMA_EXP-완전하다.
• 타일링 또는 하미르토니안 문제를 N에 대해 다항 시간 내에 해결할 수 있는 알고리즘이 존재한다면, 각각 NEXP = EXP 또는 BQEXP = QMA_EXP가 성립하게 된다.
• 양자 모델에서 잘못된 구성 상태에 대한 에너지 갭은 Ω(1/N⁵)의 비율로 스케일링되어 잘못된 해에 상당한 페널티를 부과한다.
• 반사 대칭성과 주기적 경계 조건 하에서도 구성은 여전히 난이도가 높으며, 2차원에서의 회전 대칭성은 여전히 열려있다.
• 하미르토니안의 무한 체인 극한은 난이도가 없는 하미르토니안로 수렴하므로, 난이도 있는 인스턴스가 열역학적 극한에서 지속되지 않음을 보여준다.