[論文レビュー] The Quantum Query Complexity of AC0

Paul Beame, Widad Machmouchi|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、関数 f: [n] → [n] が2対1かほぼ2対1かを判定するには Ω(n) のクエリが必要であることを示し、AC0 関数の量子クエリ複雑性に対してほぼ線形な Ω(n/log n) の下界を確立した。元の敵対法を用いて、すなわちプロミス条件が付いていても、この問題に対して量子アルゴリズムは非線形なクエリ複雑性を達成できないことを示した。これは、従来の境界を著しく改善し、一部のAC0関数が対数的要因を超えて量子高速化を回避することを示している。

ABSTRACT

We show that any quantum algorithm deciding whether an input function $f$ from $[n]$ to $[n]$ is 2-to-1 or almost 2-to-1 requires $Θ(n)$ queries to $f$. The same lower bound holds for determining whether or not a function $f$ from $[2n-2]$ to $[n]$ is surjective. These results yield a nearly linear $Ω(n/\log n)$ lower bound on the quantum query complexity of $\cl{AC}^0$. The best previous lower bound known for any $\cl{AC^0}$ function was the $Ω((n/\log n)^{2/3})$ bound given by Aaronson and Shi's $Ω(n^{2/3})$ lower bound for the element distinctness problem.

研究の動機と目的

• AC0関数の既知の量子クエリ下界と、予想される最適な下界との差を埋める。
• 定数深さかつ多項式サイズの回路（AC0）が、古典的計算と比較して量子クエリを用いることで著しく高速化できるかどうかを調査する。
• 2対1対ほぼ2対1関数問題を分析することで、AC0関数の量子クエリ複雑性にほぼ線形な下界を確立する。
• 要素の同一性や衝突問題に関する先行結果を拡張し、AC0内のプロミス問題でさえも線形の量子クエリを必要とすることを示す。

提案手法

• 著者らは、Ambainisの元の敵対法を適用し、2対1対ほぼ2対1問題の量子クエリ複雑性を分析した。
• 2対1関数とほぼ2対1関数の間に関係 R を定義し、正確に2つの位置で異なる入力ペアを構築した。
• この手法では、出力が異なる有効なペア (f,g) ∈ R の数を数え、組合せ的議論を用いてその数を上界で抑え込んだ。
• 異なるペアの数と全ペア数の比を計算し、スペクトルノルムの上限を導出し、Ω(n) のクエリ下界を導いた。
• 関数空間の対称性を利用し、f と g が異なる入力の数を丁寧に追跡した。
• 2対1関数は全射でないが、ほぼ2対1関数は全射であることに着目し、この結果を全射問題 ONTO: [2n−2] → [n] に拡張した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AC0に属する関数に対して、その回路の深さとサイズが小さいにもかかわらず、量子アルゴリズムが非線形なクエリ複雑性を達成できるか？
• RQ2 特にプロミス問題に関して、AC0関数の量子クエリ複雑性のタイトな下界は何か？
• RQ3 2対1対ほぼ2対1問題は量子高速化を達成できるか？もしできないなら、その理由は何か？
• RQ4 AC0の文脈において、全射性の量子クエリ複雑性は要素の同一性問題と比べてどう異なるか？
• RQ5 AC0関数の近似次数とその量子クエリ複雑性は分離可能か？これは何を示唆するか？

主な発見

• 関数 f: [n] → [n] が2対1かほぼ2対1かを判定する量子クエリ複雑性は Ω(n) であり、ほぼ線形な下界を確立した。
• この結果は、Boolean形式に符号化されたAC0関数の量子クエリ複雑性に対して Ω(n/log n) の下界を示唆する。
• 全射問題 ONTO: [2n−2] → [n] に対しても Ω(n) の量子クエリが必要である。これは2対1問題を一般化したためである。
• 負の重みや半正定値計画法の高度な拡張を必要とせず、元の敵対法を用いて証明した。
• 2対1対ほぼ2対1問題に対して、この下界は漸近的にタイトであり、以前の Ω((n/log n)^{2/3}) の境界を改善した。
• 結果として、2対1検出のような単純なAC0関数ですら、クエリ複雑性がnに比例して増加するため、顕著な量子高速化を回避することが示された。