[論文レビュー] THE QUASIEQUATIONAL THEORY OF RELATIONAL LATTICES, IN THE PURE LATTICE SIGNATURE

Luigi Santocanale|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ヘッダ定数を含まない純粋なラティス記号において、関係的ラティスの類似方程式理論の決定不能性を示している。これは、有限の単純に不可約なラティスが関係的ラティスに埋め込まれる問題に還元されることによって達成される。この結果は、類似方程式理論に有限の基底が存在しないこと、およびすべての有限ラティスで正当であるが、ある無限の関係的ラティスでは誤りである類似方程式が存在することを示唆する。

ABSTRACT

The natural join and the inner union operations combine relations in a database. Tropashko and Spight realized that these two operations are the meet and join operations in a class of lattices, known by now as the relational lattices. They proposed then lattice theory as an algebraic approach, alternative to the relational algebra, to the theory of databases. Litak et al. proposed an axiomatization in the signature extending the pure lattice signature with the header constant. They argued then that the quasiequational theory of relational lattices is undecidable in this extended signature. We refine this result by showing that the quasiequational theory of relational lattices in the pure lattice signature is undecidable as well. We obtain this result as a consequence of the following statement: it is undecidable whether a finite subdirectly-irreducible lattice can be embedded into a relational lattice. Our proof of this statement is a reduction from a similar problem for relation algebras and from the coverability problem of a frame by a universal product frame. As corollaries, we also obtain the following results: the quasiequational theory of relational lattices has no finite base; there is a quasiequation which holds in all the finite lattices but fails in an infinite relational lattice.

研究の動機と目的

• ヘッダ定数を除く純粋なラティス記号における関係的ラティスの類似方程式理論の決定可能性を調査すること。
• 有限の単純に不可約なラティスが関係的ラティスに埋め込めるかどうかを特定すること。
• すべての有限ラティスで正当だが、ある無限の関係的ラティスでは誤りである類似方程式の存在を確立すること。
• 関係的ラティスの類似方程式理論に有限の基底が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 有限の単純に不可約なラティスが関係的ラティスに埋め込めるかどうかの問題への還元。
• 関係代数における既知の決定不能性結果を活用し、純粋なラティス記号における決定不能性を確立すること。
• 普遍的積フレームによるフレームの被覆可能性問題を、還元の主要な中間段階として用いること。
• ラティス理論的および関係代数的領域間で類似方程式的帰結を保存する論理的還元を構築すること。
• モデル理論的技法を用いて関係的ラティスの構造およびその部分ラティスを分析すること。
• ヘッダ定数が存在しない場合でも決定不能性が維持されることを示し、拡張記号における先行結果を精緻化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係的ラティスの純粋なラティス記号における類似方程式理論は決定不能か？
• RQ2 任意の有限の単純に不可約なラティスは、ある関係的ラティスに埋め込めるか？
• RQ3 関係的ラティスの類似方程式理論は有限の公理化を許容するか？
• RQ4 すべての有限ラティスで成立するが、無限の関係的ラティスでは誤りである類似方程式が存在するか？
• RQ5 フレームの被覆性とラティスが関係的ラティスに埋め込まれる問題との関係は何か？

主な発見

• ヘッダ定数を含まない純粋なラティス記号において、関係的ラティスの類似方程式理論は決定不能である。
• 有限の単純に不可約なラティスが関係的ラティスに埋め込めるかどうかは決定不能である。
• 関係的ラティスの類似方程式理論には有限の基底が存在せず、したがって有限の類似方程式集合ではその理論を公理化できない。
• すべての有限ラティスで正当だが、ある無限の関係的ラティスでは誤りである特定の類似方程式が存在する。
• 決定不能性の結果は、関係代数における決定不能問題およびフレーム被覆問題への還元によって確立されている。
• 証明により、記号をミニマムにしたメートとジョイン演算のみの状態でも、関係的ラティスの複雑性が維持されることを示している。