[論文レビュー] The Queue-Hawkes Process: Ephemeral Self-Excitement

Andrew Daw, Jamol Pender|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、キュー長に応じて到着強度が上昇し、サービス完了後に減衰し、かつシステム内に滞在する間のみ持続する一時的（ephemeral）な自己励起点過程である「Queue-Hawkes過程」を導入する。主な貢献は、モーメント母関数を用いた流体および拡散極限の導出、バッチスケーリング下でのアフィン・Queue-Hawkes過程がHawkes過程に収束することの証明、および新規の行列構造を用いた正確なモーメント計算である。

ABSTRACT

In this paper we consider a self-exciting model that couples a Hawkes process and a queueing system which we call the Queue-Hawkes process. In this process the intensity responds to the queue: increasing at arrivals, dropping upon departures, and decaying between. Hence the influence of each arrival is ephemeral, as the excitement only lasts for the duration of the entity's time in system. We study this process both individually and by comparison to other processes, primarily the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process, which we define as the zero-decay case of the Queue-Hawkes. Our results include showing that a batch-scaling of the Affine Queue-Hawkes process will converge to the Hawkes process. We also prove a strong law of large numbers for the non-identical and dependent inter-arrival times of the Queue-Hawkes, Hawkes, and Affine Queue-Hawkes processes. Additionally, we provide all moments of the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process via a novel matrix structure. Finally, we prove fluid and diffusion limits for the Queue-Hawkes process using moment generating function techniques.

研究の動機と目的

• 到着強度が現在のキュー長に依存し、サービス完了後に減衰するキューイングシステムにおける自己励起をモデル化すること。
• 励起が一時的で、システム内滞在時間に依存する、新しい点過程「Queue-Hawkes」の動態を分析すること。
• モーメント母関数技法を用いて、Queue-Hawkes過程の流体および拡散極限を確立すること。
• 古典的Hawkes過程とアフィン・Queue-Hawkes過程（ゼロ減衰極限）との比較を行うこと。
• 新規の行列構造を用いて、Hawkes過程およびアフィン・Queue-Hawkes過程のすべてのモーメントの正確な表現を導出すること。

提案手法

• Hawkes過程とキューイングシステムの結合としてQueue-Hawkes過程を提案し、到着時に強度が上昇し、離脱時に低下し、それらの間で指数的に減衰する仕組みを定義する。
• アフィン・Queue-Hawkes過程を、Queue-Hawkes過程のゼロ減衰極限として定義し、比較のための基準として用いる。
• モーメント母関数技法を用いて、Queue-Hawkes過程の流体および拡散極限を導出する。
• Hawkes過程およびアフィン・Queue-Hawkes過程のすべてのモーメントを計算するための新規の行列構造を導入する。
• バッチスケーリング技法を用いて、アフィン・Queue-Hawkes過程が極限において古典的Hawkes過程に収束することを示す。
• 非独立同一分布および従属する到着間隔時間に対しても、Queue-Hawkes、Hawkes、およびアフィン・Queue-Hawkes過程の強大数法則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Queue-Hawkes過程は流体および拡散スケーリング下でどのように振る舞い、その極限的挙動は何か？
• RQ2 バッチスケーリング下で、アフィン・Queue-Hawkes過程と古典的Hawkes過程の関係は何か？
• RQ3 Hawkes過程およびアフィン・Queue-Hawkes過程のすべてのモーメントを正確に計算可能か？もしそうなら、どのような構造的技法を用いるか？
• RQ4 非独立同一分布および従属する到着間隔時間は、Queue-Hawkes過程の長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 Queue-Hawkes過程における一時的励起の役割は何か？また、Hawkes過程における持続的励起とはどのように異なるか？

主な発見

• モーメント母関数技法を用いて、Queue-Hawkes過程の流体および拡散極限が導出され、スケーリング下での漸近的挙動が確立された。
• アフィン・Queue-Hawkes過程のバッチスケーリングが古典的Hawkes過程に収束することを示し、両モデル間の極限的関係を実証した。
• Hawkes過程およびアフィン・Queue-Hawkes過程のすべてのモーメントが、新規の行列構造を用いて正確に計算可能であり、完全なモーメント特徴付けが可能になった。
• 非同一および従属する到着間隔時間に対しても、Queue-Hawkes、Hawkes、およびアフィン・Queue-Hawkes過程の強大数法則が証明された。
• Queue-Hawkes過程は一時的自己励起を示し、強度の励起が、実体がシステム内に滞在する時間に正確に一致して減衰する。これは、持続的励起モデルとは明確に異なる。