[論文レビュー] The rate of convergence for the renewal theorem in $\mathbb{R}^d$

Jean−Baptiste Boyer|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上のランダムウォークにおける i.i.d. $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-値行列によって駆動される再生定理における収束速度を確立する。球面上のマルコフ作用素のユニタリ摂動のスペクトル的性質を、族 $P(it)$ を用いて分析することで、解像度 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ に対する多項式的バインドが得られ、これにより原点におけるポテンシャル関数 $Gf$ の極限への Hölder 型推移的推移の最適推移が導かれる。主な結果は、強い非可約性および近接性の仮定とモーメント条件の下で、Guivarc’h–Le Page の再生定理における収束の明確な速度が得られることである。

ABSTRACT

Let $ρ$ be a borelian probability measure on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$. Consider the random walk $(X_n)$ on $\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ defined by $ρ$ : for any $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, we set $X_0 =x$ and $X_{n+1} = g_{n+1} X_n$ where $(g_n)$ is an iid sequence of $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})-$valued random variables of law $ρ$. Guivarc'h and Raugi proved that under an assumption on the subgroup generated by the support of $ρ$ (strong irreducibility and proximality), this walk is transient. In particular, this proves that if $f$ is a compactly supported continuous function on $\mathbb{R}^d$, then the function $Gf(x) :=\mathbb{E}_x \sum_{n=0}^{+\infty} f(X_n)$ is well defined for any $x\in \mathbb{R}^d \setminus\{0\}$. Guivarc'h and Le Page proved the renewal theorem in this situation : they study the possible limits of $Gf$ at $0$ and in this article, we study the rate of convergence in their renewal theorem. To do so, we consider the family of operators $(P(it))_{t\in \mathbb{R}}$ defined for any continuous function $f$ on the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$ and any $x\in \mathbb{S}^{d-1}$ by \[ P(it) f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \frac{ \|gx\|}{\|x\|}} f\left(\frac{gx}{\|gx\|} ight) \mathrm{d}ρ(g) \] And we prove that, for some $L\in \mathbb{R}$ and any $t_0 \in \mathbb{R}_+^\ast$, \[ \sup_{\substack{t\in \mathbb{R}\\ |t| \geqslant t_0}} \frac{ 1 }{|t|^L} \left\| (I_d-P(it))^{-1} ight\| ext{ is finite} \] where the norm is taken in some space of hölder-continuous functions on the sphere.

研究の動機と目的

• 駆動測度が強く非可約かつ近接的である場合に、$\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-駆動ランダムウォークの再生定理における収束速度を特定すること。
• 原点に近づく際のポテンシャル関数 $Gf(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{E}_x[f(X_n)]$ の漸近的挙動、特に原点における連続性のモジュラスを分析すること。
• 球面 $S^{d-1}$ 上の Hölder 連続関数に作用する作用素族 $P(it)$ に対する解像度 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ に対する定量的バインドを確立すること。このバインドは収束速度を支配する。
• 駆動測度にモーメント条件およびスペクトル的条件が成り立つ場合に、古典的再生定理を拡張し、$x \to 0$ の極限における多項式的収束速度を提供すること。

提案手法

• ランダムウォークが球面上でどのように動くかを記述するため、$C^{\gamma}(S^{d-1})$ 上の作用素族 $P(it)$ を $P(it)f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \|gx\|} f(gx/\|gx\|) \, d\rho(g)$ で定義する。
• スペクトル摂動論を用いて、$ |t| \geq t_0 > 0 $ の範囲で、作用素ノルム $ \| (\mathrm{id} - P(it))^{-1} \| $ の一様バインドを確立し、$ |t|^{-L} $ のオーダーで増大することを示す（$ L \in \mathbb{R} $）。
• 対数長 $ \ln \|gx\| $ のディオファントス的性質を用いてスペクトルギャップを制御し、共鳴を回避することで、本質的スペクトル上でも解像度が有界に保たれることを保証する。
• 剰余項付きのウィーナーのTauber定理を適用し、畳み込みの減衰を制御し、テスト関数の正則性をポテンシャル関数へと伝える。
• 非滑らかなテスト関数を取り扱うために、ガウス関数との畳み込みによる正則化手続きを導入し、収束速度の制御を維持する。
• 定常測度の構造と射影空間への作用を用いて、問題を球面に還元し、$P$-不変関数の唯一または2次元の空間の存在を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点におけるポテンシャル関数 $Gf(x)$ の収束速度は、$\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-駆動ランダムウォークの再生定理においてどのようになるか？
• RQ2 球面 $S^{d-1}$ 上での作用素 $P(it)$ のスペクトル的挙動は、$x \to 0$ のときの $Gf$ の収束速度をどのように制御するか？
• RQ3 行列ノルムのディオファントス的条件の下で、$t$ が大きい場合に $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ が $t$ に関して一様に有界に保たれるか？
• RQ4 対数長 $ \ln \|gx\| $ のディオファントス的性質は、ポテンシャル関数 $Gf$ の正則性および減衰にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 球面上に1つまたは2つの $T_\rho$-不変な閉集合が存在する場合、$Gf$ の原点における連続性モジュラスにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 強い非可約性、近接性、および $ \rho $ に対するモーメント条件の下で、Hölder 連続関数の空間上での解像度 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ は、$ |t| \geq t_0 > 0 $ に対して $ C |t|^{-L} $ の形で一様に有界である（$ L \in \mathbb{R} $）。
• 原点に近づく際の $ Gf(x) $ の収束速度は、$ f $ の Hölder ノルムに依存し、収束速度は $ \gamma > 0 $ を用いて $ O(\|x\|^\gamma) $ の形で与えられる。この $ \gamma $ は系のディオファントス的性質に依存する。
• コンパクトに台を持つ $ \gamma $-Hölder 連続関数 $ f $ で $ f(0) = 0 $ を満たすものに対して、関数 $ (G - \frac{1}{\lambda_\rho} \Pi_0)f $ は $ \mathbb{R}^d $ に連続に拡張可能であり、その原点における連続性モジュラスは $ C \|f\|_{\gamma} \|x\|^\gamma $ で有界である。
• 証明は、剰余項付きのウィーナー型Tauber定理に依拠しており、$ \phi_k * f $ の減衰が解の正則性を制御する。このとき、正則化に $ \phi_k(x) = x^k e^{-x} \mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(x) $ の畳み込み核が用いられる。
• 球面上で $ P $-不変関数の唯一または2次元の空間が存在することは、原点における極限が連続であるか、あるいは方向連続にしかならないかを決定し、収束速度はこの構造を反映する。
• 最終的な結果として、Hölder推移の指数 $ \gamma $ が、行列ノルムのより強いディオファントス的仮定がなければ向上できないという点で、収束速度が最適であることが示された。