[論文レビュー] The RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional quantum systems

Yu Guo, Jinchuan Hou|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限次元から無限次元の二粒子量子系へ、分離可能性のための再配列基準と可計算な交差ノルム（RCCN）基準を拡張する。ヒルベルト＝シュミット作用素上での再配列作用素を定義し、スミット係数と関連付けることで、任意の分離可能な状態 $\rho$ に対して、その再配列 $\|\rho^R\|_{\rm Tr}$ のトレースノルムと可計算な交差ノルム $\|\rho\|_{\rm CCN}$ が、スミット係数の和 $\sum_k \delta_k \leq 1$ に等しくなることを証明している。等号が成立するのは、$\rho$ が純粋な分離可能な状態である場合に限る。

ABSTRACT

In this paper, the realignment criterion and the RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional bipartite quantum systems are established. Let $H_A$ and $H_B$ be complex Hilbert spaces with $\dim H_A\otimes H_B=+\infty$. Let $ρ$ be a state on $H_A\otimes H_B$ and $\{δ_k\}$ be the Schmidt coefficients of $ρ$ as a vector in the Hilbert space ${\mathcal C}_2(H_A)\otimes{\mathcal C}_2(H_B)$. We introduce the realignment operation $ρ^R$ and the computable cross norm $\|ρ\|_{ m CCN}$ of $ρ$ and show that, if $ρ$ is separable, then $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k\leq1.$ In particular, if $ρ$ is a pure state, then $ρ$ is separable if and only if $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k=1$.

研究の動機と目的

• 有限次元から無限次元の二粒子量子系へ、再配列基準とRCCN基準の分離可能性の一般化を行う。
• 再配列状態のトレースノルムに基づく、無限次元系における分離可能性の必要条件を確立する。
• 純粋状態の場合に、分離可能性が $\\|\\rho^R\\|_{\rm Tr} = \\|\\rho\\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$ と同値であることを証明する。
• 無限次元系へ対称状態の概念を拡張し、この場合にRCCN基準とPPT基準が同値であることを示す。

提案手法

• 再配列作用素 $T \mapsto T^R$ を、三つの同等な表現を用いて、$\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$ から $\mathcal{C}_2(H_B \otimes H_B, H_A \otimes H_A)$ への等長線形写像として定義する。
• 状態 $\rho$ をヒルベルト空間 $\mathcal{C}_2(H_A) \otimes \mathcal{C}_2(H_B)$ 上のベクトルとして表現し、そのスミット係数 $\{\delta_k\}$ を抽出する。
• 任意の $H_A \otimes H_B$ 上の状態 $\rho$ に対して、$\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k$ が成り立つことを示す。
• もし $\rho$ が分離可能であれば、$\sum_k \delta_k \leq 1$ が成り立ち、等号が成立するのは $\rho$ が純粋な分離可能な状態である場合に限ることを証明する。
• フラップ作用素 $F$ を用いて、無限次元系における対称状態の概念を一般化する。ここで $\rho = F\rho F$ である。
• 対称状態の場合、RCCN基準 ($\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$) とPPT基準が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再配列基準とRCCN基準は、無限次元の二粒子量子系へ拡張可能か？
• RQ2 無限次元系において、再配列状態のトレースノルムとスミット係数の関係は何か？
• RQ3 無限次元系における分離可能性のための条件 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \sum_k \delta_k \leq 1$ は必要条件か？
• RQ4 無限次元系における純粋状態について、$\|\rho^R\|_{\rm Tr} = 1$ は分離可能性の必要十分条件か？
• RQ5 無限次元系における対称状態のクラスにおいて、RCCN基準とPPT基準は同値か？

主な発見

• 任意の無限次元二粒子系における分離可能な状態 $\rho$ に対して、再配列作用素のトレースノルムは $\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$ を満たす。
• 可計算な交差ノルム $\|\rho\|_{\rm CCN}$ はスミット係数の和 $\sum_k \delta_k$ に等しく、分離可能な状態ではこの値は1以下に有界である。
• 純粋状態 $\rho$ に対して、分離可能性が成り立つのは $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$ のときに限る。
• 再配列作用素 $T \mapsto T^R$ は、$\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$ 上のヒルベルト＝シュミットノルムに関して等長写像である。
• 無限次元系における対称状態では、RCCN基準 ($\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$) とPPT基準が同値である。
• 行列 $\rho^R$ の特異値は $\rho^{T_A}$ のそれと等しく、したがって $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho^{T_A}\|_{\rm Tr}$ が成り立ち、$\rho$ がPPTでなければこの値は1を超える。