[論文レビュー] The reconstruction of sound speed in the Marmousi model by the boundary control method

Ivan Ivanov, Μ. I. Belishev+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、合成音響境界データを用いて、複雑なマーモウジ・モデルにおける音速の再構成に境界制御法（BCM）を適用する応用を示している。この手法は、極めて不規則な音響光線経路を示す領域でさえも、10–15%の相対誤差で平均化された音速プロファイルを回復することができ、高分解能の反復的逆問題手法のための頑健な初期近似を提供する。

ABSTRACT

We present the results on numerical testing of the Boundary Control Method in the sound speed determination for the acoustic equation on semiplane. This method for solving multidimensional inverse problems requires no a priory information about the parameters under reconstruction. The application to the realistic Marmousi model demonstrates that the boundary control method is workable in the case of complicated and irregular field of acoustic rays. By the use of the chosen boundary controls, an `averaged' profile of the sound speed is recovered (the relative error is about $10-15\%$). Such a profile can be further utilized as a starting approximation for high resolution iterative reconstruction methods.

研究の動機と目的

• 不規則な音響光線経路を示す現実的で複雑な地質モデルにおける音速再構成のための境界制御法（BCM）の実現可能性を検証すること。
• 事前の音速プロファイルに関する仮定を一切用いずに、境界測定値のみを用いてBCMの性能を評価すること。
• 高分解能の反復的逆問題手法のための初期モデルとして使用可能な、安定的かつ低分解能の音速の近似を生成できるかを評価すること。
• スカラーピロッド評価における数値誤差が、より深い領域での再構成精度に与える影響を調査すること。
• BCMが、地震探査で一般的に見られる極めて不規則な波動伝搬環境を扱えるかを実証すること。

提案手法

• BCMは、境界の一部に時間領域の境界制御を適用し、波を励起し、入出力動作を記述する応答演算子 $ R^{2T} $ を測定する。
• この手法は、波解の完全性と幾何的光学の原則に依存し、波の不連続性とそれらの光線に沿った伝播に関する情報を抽出する。
• 主な数学的ツールとして、境界データから得られるスカラー積 $ \big\bra c^{-2} u^f u^g \big\bracket $ の計算があり、これは光線座標系における波の像を再構成するために用いられる。
• 再構成は、回復された波および座標関数の像を用いて、デカルト座標系を半測地座標（光線に基づく座標）に変換することで行われる。
• 音速は、デカルト座標系と光線座標系との間の座標変換のヤコビアンを計算することにより回復され、光線管内では $ c = \frac{1}{\text{ヤコビアン}} $ の関係が成り立つ。
• 境界制御には、空間的・時間的それぞれ31個および32個のテント型関数の基底が用いられ、行列要素には数値積分が適用され、線形方程式系の解法にはLAPACKルーチンが使用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界制御法（BCM）は、速度構造に関する事前の仮定を一切用いずに、マーモウジのような現実的で複雑なモデルにおける音速を再構成できるか？
• RQ2 境界制御の数が限定的で分解能が低い状況下で、BCMが音速の滑らかで平均化されたバージョンをどれほど正確に回復できるか？
• RQ3 特に、線形方程式系の条件数が増大する深部において、数値積分の精度が再構成プロセスに与える役割は何か？
• RQ4 極めて不規則で複雑な音響光線パターンが存在する状況下でも、BCMはどれほど安定的かつ有効に機能するか？
• RQ5 得られた低分解能再構成が、その後続の高分解能反復的逆問題手法のための信頼できる初期モデルとして機能できるか？

主な発見

• BCMは、プローブ領域の大部分で約10–15%の相対誤差を示しながらも、マーモウジ・モデルにおける音速の滑らかで平均化されたプロファイルを成功裏に再構成した。
• 波面歪みに強く、極めて不規則で複雑な音響光線場を示す領域でも再構成が安定的かつ正確に保たれ、この手法の頑健性が裏付けられた。
• 内部積分の高精度な数値積分を用いた疑似再構成により、深さ2 kmを超える領域での精度が著しく向上した。これは、スカラー積評価における数値誤差が深さ分解能の制限要因であることを示している。
• 行列系 $ A^{\theta} $ の条件数は $ \theta^4 $ の割合で増大し、最大プローブ時間近辺で $ 10^5 $ から $ 10^6 $ に達する。これは不適切な問題性を助長し、深さ分解能を制限する要因となっている。
• この手法は、高分解能の反復的逆問題手法の初期モデルとして適した、安定的かつ低分解能の音速近似を生成した。
• 境界におけるスライディング・サポートの使用により、アクティブな制御数が削減されたが、空間分解能に影響を与えることなく、数値的安定性と計算効率が向上した。