[論文レビュー] The Relative Capacity

Markus Biegert|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^N$ 内の開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ の閉包上に定義される相対的 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ を導入し、古典的 $p$-容量を一般化して、不規則な境界上でのソボレフ関数のトレースを特徴付けるための道具とする。主な貢献は、$\partial\Omega$ 上で相対的容量準 everywhere に消失するという条件によって $W^{1,p}_0(\Omega)$ を特徴付けることであり、容量論的トレース理論を用いて一般の開集合へ既知の結果を拡張したものである。

ABSTRACT

The purpose of this article is to introduce the relative $p$-capacity $\Cap_{p,Ω}$ with respect to an open set $Ω$ in $\IR^N$. It is a Choquet capacity on the closure of $Ω$ and extends the classical $p$-capacity $\Cap_p$ in the sense that $\Cap_{p,Ω}=\Cap_p$ if $Ω=\IR^N$. The importance of the relative $p$-capacity stems from the fact that a large class of Sobolev functions defined on a 'bad domain' admit a trace on the boundary $\partialΩ$ which is then unique up to $\Cap_{p,Ω}$-polar set. As an application we prove a characterization of $W^{1,p}_0(Ω)$ for open sets $Ω\subset\IR^N$.

研究の動機と目的

• 不規則な領域におけるソボレフ関数の境界挙動に特化した、相対的 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ を定義すること。
• 古典的 $p$-容量を一般化し、$W^{1,p}(\Omega)$ の関数が $\partial\Omega$ 上に持つトレースの性質を捉える相対的設定への拡張を実現すること。
• 関数が $\mathbb{R}^N$ 上で全体的に可積分であるという仮定を課さずに、$W^{1,p}_0(\Omega)$ の容量論的特徴付けを提供すること。
• ソボレフ関数の $\partial\Omega$ 上のトレースが、$\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-極集合を除いて一意的であることを確立し、『悪い』領域に対しても解析を可能にする。

提案手法

• 集合 $A \subset \overline{\Omega}$ に対して、$\mathcal{Y}_{p,\Omega}(A)$ に属する $W^{1,p}(\Omega)$ の関数 $u$ について、$\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}^p$ の下界を $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}(A)$ として定義する。ここで $\mathcal{Y}_{p,\Omega}(A)$ は $A$ 上で $\geq 1$ である関数の集合である。
• $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ が $\overline{\Omega}$ 上のチョーケット容量であることを示し、単調性、増加列に沿った連続性、およびコンパクト集合に沿った連続性を満たすことを確立する。
• ソボレフ関数の準連続性と極集合の概念を用いて、$\partial\Omega$ 上での関数のトレース挙動を分析する。
• 切断関数とトレUNCTIONを用いた近似列の構成により、$W^{1,p}_0(\Omega)$ 内での密度性と弱収束性の性質を証明する。
• 関数 $u$ が $\partial\Omega$ 上で $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-準 everywhere に、$\lim_{r\to 0} r^{-N} \int_{B(x,r)\cap \Omega} |u(y)|\,dy = 0$ を満たすという条件を用いて、$W^{1,p}_0(\Omega)$ を特徴付ける。
• ハビン、バグビー、ヘドバーグ、スワンソン–ツィエマーらの既知のポテンシャル論の結果を活用し、$W^{1,p}_0(\Omega)$ の同値な特徴付けを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ の境界上でのトレース挙動を捉える相対的 $p$-容量に、古典的 $p$-容量をどのように拡張できるか。
• RQ2 相対的 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ がチョーケットの意味で有効な容量であるために満たすべき性質は何か。
• RQ3 ソボレフ関数の $\partial\Omega$ 上のトレースはどのような意味で一意的であり、$\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ はその一意性をどのように制御するか。
• RQ4 $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ であるという仮定を課さずに、$W^{1,p}_0(\Omega)$ を相対的容量を用いて特徴付けられるか。
• RQ5 平均化された $L^1$-ノルムが $\partial\Omega$ の近傍で消失する条件と、$W^{1,p}_0(\Omega)$ への属する関係は何か。

主な発見

• 相対的 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ は $\overline{\Omega}$ 上のノルム付きチョーケット容量であり、$\Omega = \mathbb{R}^N$ のとき古典的 $p$-容量に拡張される。
• $\partial\Omega$ 上での任意の $u \in W^{1,p}(\Omega)$ のトレースは、$\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-極集合を除いて一意的であり、不規則な領域に対してもトレース理論を可能にする。
• 関数 $u \in W^{1,p}(\Omega)$ が $W^{1,p}_0(\Omega)$ に属するための必要十分条件は、$\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-準 everywhere で $\lim_{r\to 0} r^{-N} \int_{B(x,r)\cap \Omega} |u(y)|\,dy = 0$ が成り立つことである。
• 関数が $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ に属さない場合でも、$\partial\Omega$ の近傍での平均化された $L^1$-ノルムの消失による $W^{1,p}_0(\Omega)$ の特徴付けは成り立つ。これは以前の結果を一般化する。
• 証明は、切断とカットオフ関数を用いた $W^{1,p}_0(\Omega)$ 内の近似列の構成に依拠し、弱収束性の議論を反射的バナッハ空間 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 内で展開する。
• 相対的容量の枠組みにより、境界が非正則または不規則であっても、トレースと境界での消失挙動を統一的に扱える。