[論文レビュー] The Relativistic Elasticity of Rigid Bodies

A. Brotas, J. C. Fernandes|ArXiv.org|Jul 2, 2003

Modeling and Simulation Systems参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、衝撃波が光速で伝播する可変形材料として相対論的剛体を再定義し、1次元の相対論的剛体に対する正確な弾性法則を導出する。これらの法則—圧力 $ p = \frac{\rho_0^0 c^2}{2}\left(\frac{1}{s^2} - 1\right) $ および密度 $ \rho_0 = \frac{\rho_0^0}{2}\left(\frac{1}{s^2} + 1\right) $、ここで $ s = l_1/l_0 $—は、剛体（最大剛性）と変形不能体を区別することにより、長年の相対性理論のパラドックスを解消する。

ABSTRACT

In 1909 Born studied the "relativistic undeformable body" but made the mistake of calling it "rigid". The "rigid body" as one can find in Relativity books is, in fact, this Born "undeformable body". In Relativity it is necessary to distinguish between "rigid" and "undeformable". The "undeformable" body (in the sense of the most rigid possible) must be the "deformable" body where schock waves propagate with maximum speed c. We present in this text the elastic laws for rigid bodies. We think that these laws, which are ignored by the majority of relativists, should be taught in the elementary relativistic courses. With the approach of 2005, the centenary year of Relativity, we should like to appeal to all those who have some influence on these matters to avoid this mistake of repeatedly calling "rigid" to the "undeformable body".

研究の動機と目的

• 相対論教科書においてボーンの変形不能体が誤って「剛体」と分類されている現象を是正すること。
• 光速で伝播する衝撃波を有する可変形体として、相対論的剛体の物理的に整合性のある定義を確立すること。
• 現在の主流の相対論教育で無視されている1次元の相対論的剛体に対する相対論的弾性法則を導出し、提示すること。
• これらの法則が、回転円盤や角度レバーのパラドックスなど古典的パラドックスを解消することを示すこと。
• これらの法則を、相対性理論100周年を記念して2005年に制定された教育的文脈において、初等的な相対論的物理学課程に組み込むべきであると提唱すること。

提案手法

• 相対論的枠組みにおいて運動エネルギーと弾性エネルギーの保存則を用いて弾性法則を導出する。衝突前の運動エネルギーと圧縮後の弾性エネルギーを等置する。
• 相対論的運動学を適用し、移動するバーのフレームにおける波フロント速度 $ V_b = v + V_p $ を計算する。ここで $ V_p $ は壁フレームにおける波の速度である。
• 衝撃波が常に光速 $ c $ で伝播することを条件として、相対論的弾性法則 $ p = \frac{\rho_0^0 c^2}{2}\left(\frac{1}{s^2} - 1\right) $ を導出する。ここで $ s = l_1/l_0 $ である。
• 圧縮された材料の固有密度 $ \rho_0 = \frac{\rho_0^0}{2}\left(\frac{1}{s^2} + 1\right) $ を導出し、圧縮による質量エネルギーの増加を反映させる。
• 運動量の変化がインパルスに等しいことを確認することで整合性を検証し、二通りの独立した方法から同じ圧力法則が得られることを示す。
• エネルギーと運動量のバランスから相対論的波動方程式 $ \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 X}{\partial t^2} = 0 $ を導出し、これはローレンツ不変であり、古典的d'Alembert方程式とは異なる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衝撃波が光速で伝播する相対論的剛体に対して正しい弾性法則は何か？
• RQ2 なぜ古典的パラドックス（例：回転円盤、角度レバー）が、剛体と変形不能体を混同することによって生じるのか？
• RQ3 エネルギーの入射により質量が増加する圧縮されたバーの密度はどのように変化するのか？ その状態方程式は何か？
• RQ4 エネルギーと運動量のバランスから、剛体の相対論的波動方程式を導出できるか？ そしてそれはローレンツ不変か？
• RQ5 単純かつ整合性のあるこれらの弾性法則が、なぜ標準的な相対論教科書で無視されているのか？

主な発見

• 相対論的剛体内の圧力は $ p = \frac{\rho_0^0 c^2}{2}\left(\frac{1}{s^2} - 1\right) $ で与えられ、ここで $ s = l_1/l_0 $ は圧縮後の長さと元の長さの比である。
• 圧縮された材料の固有密度は $ \rho_0 = \frac{\rho_0^0}{2}\left(\frac{1}{s^2} + 1\right) $ であり、圧縮による質量エネルギーの増加を反映している。
• エネルギー保存則と運動量インパルスの二つの独立した導出法により、得られた弾性法則は一貫しており、その妥当性が確認されている。
• このような物体の運動方程式は $ \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 X}{\partial t^2} = 0 $ であり、ローレンツ不変であり、古典的d'Alembert方程式とは異なる。
• これらの法則は、剛体（最大剛性、$ v_{\text{shock}} = c $）と変形不能体（無限の剛性、物理的に不成立）を区別することにより、長年の相対性理論のパラドックスを解消する。
• 本稿は、これらの法則が初等的な相対論的物理学課程で教えられるべきであると主張しており、相対論的弾性を理解するための物理的に整合性のあるフレームワークを提供する。