[論文レビュー] The Rezk Completion for Elementary Topoi

Kobe Wullaert, Niels van der Weide|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、Rezk完了をカ categories から構造を持つカテゴリへ『モジュール型フレームワーク』として持ち上げる方法を提案し、Rezk完了が elementary topos に継承されることを示し、UniMath で形式化する。

ABSTRACT

The development of category theory in univalent foundations and the formalization thereof is an active field of research. Categories in that setting are often assumed to be univalent which means that identities and isomorphisms of objects coincide. One consequence hereof is that equivalences and identities coincide for univalent categories and that structure on univalent categories transfers along equivalences. However, constructions such as the Kleisli category, the Karoubi envelope, and the tripos-to-topos construction, do not necessarily give univalent categories. To deal with that problem, one uses the Rezk completion, which completes a category into a univalent one. However, to use the Rezk completion when considering categories with structure, one also needs to show that the Rezk completion inherits the structure from the original category. In this work, we present a modular framework for lifting the Rezk completion from categories to categories with structure. We demonstrate the modularity of our framework by lifting the Rezk completion from categories to elementary topoi in manageable steps.

研究の動機と目的

• 結びついた等価性が構造の等価性と一致するように、ユニヴァレント基盤を動機づける。
• 標準的な構成がユニヴァレントでなくなる場合があり、Rezk完了が必要になる理由を説明する。
• 構造化されたカテゴリを通じてRezk完了を輸送するモジュール的方法を提示し、継承された構造を保証する。
• Rezk完了を elementary topos 及び関連構造へリ lifting することを実証する。
• Proof assistant での実用的検証を支援するため、Rocq-UniMath での形式化を提供する。

提案手法

• Rezk完了を、ユニヴァレント完了として、弱同値を普遍的性質を介してカテゴリに適用する。
• 二階カテゴリー的および表示された二階カテゴリー技術を用いて、構造化されたカテゴリへRezk完了をリフトする。
• 表示された普遍的な矢を理論化して、biadjointのリフトを容易にする。
• カテゴリから有限完備カテゴリ、デカルト閉包カテゴリ、elementary topos、W-トポイまで段階的にリフティングのフレームワークを適用する。
• Cat_univ 内の普遍的性質を反射的サブ二階カテゴリーとして内在化するための二階カテゴリー視点を利用する。
• Rocq-UniMath ライブラリでの構成を形式化し、ユニヴァレント基盤と整合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレーンなカテゴリから追加の構造を持つカテゴリへ Rezk 完了をどうリフティングできるか。
• RQ2 Rezk 完了が利用可能なカテゴリ理論的構造（極限、指幹、部分対象分類器など）を継承する条件は何か。
• RQ3 複数の構造化カテゴリ設定を横断してリフティングを統合するモジュール的・二階的アプローチは可能か。
• RQ4 リフティングフレームワークは elementary topos へ拡張可能か、さらに W-トポイへも拡張できるか。
• RQ5 これらの構成を UniMath や関連証明アシスタント内でいかに形式化できるか。

主な発見

• カテゴリから構造化カテゴリへの Rezk 完了をリフティングするモジュール型フレームワークが確立される。
• カテゴリの Rezk 完了は、適切に段階的に進めることでトポスの構造を継承することが示される。
• 表示された二階カテゴリーと表示された普遍的矢は、biadjointと構造移送のモジュール的リフティングを可能にする。
• このアプローチを有限の共完備/完備カテゴリ、デカルト閉包カテゴリ、elementary topos、W-トポイへ適用する。
• Rocq-UniMathライブラリでの形式化は、ユニヴァレント基盤下での検証を支援する。