[論文レビュー] The Richardson's Annular effect and a transient solution of oscillating pressure-driven flow in circular pipes

F. Camacho, R. Martinez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、円形管内の圧力勾配駆動流れにおける遷移的解析解を提示し、標準的解が有する初期条件の不整合を解消する。本稿は、リチャードソン環状効果の過渡的ピーク位置の時間依存性を特定し、過渡的ピークの大きさと運動粘性レイノルズ数 $ \rho^* = \omega r_0^2 / \nu $ の間の半経験的法則 $ B_0(\rho^*) = 2.28 + 0.51(\rho^*)^{-1/2} $ を導出する。遷移的解は、流体の粘性と管の半径に依存する特徴的な時間スケール $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $ に従って、定常的振動状態に収束する。

ABSTRACT

In this paper it is shown that the location of the characteristic overshoot of the Richardson's annular effect changes with the Kinematic Reynolds number $ω^*=ωr_0^2 /ν$ in the range of frequencies within the laminar regime. From the study of the Richardson's overshoot at different times it was identified the existence of aparent transverse damped waves similar to those ones observed in the famous Stokes second problem, the physical analysis of this waves was used for the establishment of a semi-empirical law that gives the functional relation of the mean overshoot maximum with the kinematic reynolds number, say $B_0(ω^*)=2.28 + 0.51{ω^*}^{-1/2}$. Finally a transient solution was constructed and verified asymptotically for large times, and the tipical time for which the transient solution resembles the steady oscillating one was identified to be dependent of the viscosity of the fluid and of the radius of the pipe.

研究の動機と目的

• t=0における初期静止条件を満たさない標準的振動流れ解の不整合を解消すること。
• 特に管壁付近での速度過渡ピークの位置の時間依存的挙動を分析すること。
• 最大過渡ピークの大きさと運動粘性レイノルズ数 $ \omega^* $ の間の半経験的関数的関係を導出すること。
• 定常的振動状態に漸近的に収束する遷移的解を構築し、検証すること。
• 遷移的解が定常状態の振動解と密接に一致するようになる特徴的な時間スケール $ \tau_1 $ を特定すること。

提案手法

• 軸対称性と無滑着境界条件の下で、円筒座標系における軸方向のナビエ＝ストークス方程式を一次元拡散型方程式に簡略化する。
• 圧力勾配のフーリエ＝ベッセル級数展開を用い、固有関数 $ J_0(j_n r^*) $ を用いて振動的駆動項を表現する。ここで $ j_n $ は $ J_1 $ の零点である。
• 初期条件 $ a_n(0) = 0 $ を満たす第1階微分方程式系を解き、減衰指数関数を含む解を得る。
• 得られたモードの重ね合わせとして、遷移的速度場を $ u(r^*,t) = 2K \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i\omega t} - e^{-\nu j_n^2 t / r_0^2}}{(i\omega + \nu j_n^2 / r_0^2) j_n J_1(j_n)} J_0(j_n r^*) $ として表現する。
• フーリエ＝ベッセル級数が閉形式のベッセル関数を含む既知の定常解に漸近的に収束することを比較により検証する。
• 数値的に、$ N \to \infty $ のとき差関数 $ D_{\omega}^N(r^*) $ が実部および虚部の両方でゼロに収束することを確認し、解の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた周波数に対して、リチャードソン環状効果の速度過渡ピーク位置は時間とともにどのように変化するか？
• RQ2 運動粘性レイノルズ数 $ \omega^* $ に依存する最大過渡ピークの大きさの関数的依存性は何か？
• RQ3 振動管内流れの遷移的解が定常状態の振動解に収束する特徴的な時間スケールは何か？
• RQ4 円形管内の振動的圧力駆動流れに対して、初期静止条件を満たす解析的遷移的解を構築できるか？
• RQ5 過渡ピークダイナミクスに観察される減衰横波は、古典的ストークス第二問題とどのように関係するか？

主な発見

• リチャードソン環状効果の過渡ピーク位置が時間とともに変化することから、流れ場内に減衰横波が存在することが示唆される。
• 半経験的法則が確立された：$ B_0(\omega^*) = 2.28 + 0.51(\omega^*)^{-1/2} $ は、運動粘性レイノルズ数 $ \omega^* $ に依存する平均過渡ピークの大きさを記述する。
• フーリエ＝ベッセル級数を用いて構築された遷移的解は初期静止条件を満たし、既知の定常的振動解に漸近的に収束する。
• 遷移的解が定常状態に類似するまでの特徴的な時間スケールは $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $ と特定され、流体の粘性と管の半径に依存する。ここで $ j_1 \approx 3.8317 $ である。
• 数値的検証により、項数 $ N \to \infty $ のとき、フーリエ＝ベッセル級数解と閉形式解との差関数が実部および虚部の両方でゼロに収束することが確認された。
• 解は、最も減衰が遅いモード（$ n=1 $ に対応）が遷移的減衰を支配しており、特徴的な時間スケール $ \tau_1 $ を定義していることを示している。