[論文レビュー] The Riemann Problem for Hyperbolic Equations under a Nonconvex Flux with Two Inflection Points

Marco Fossati, L. Quartapelle|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二つの変曲点を有する非凸フラックスを有する双曲型保存則のリーマン問題に対する正確なスローバーを開発した。主にスカラー方程式およびP系や非凸なファンデルワールス気体のエーラー方程式のような系を対象としている。主な貢献は、非古典的および混合波（合成圧縮波および真空形成を含む）の解析的記述であり、このようなモデルにおいて初めて数値的に検証された。

ABSTRACT

This report addresses the solution of Riemann problems for hyperbolic equations when the nonlinear characteristic fields loose their genuine nonlinearity. In this context, exact solvers for nonconvex 1D Riemann problems are developed. First a scalar conservation law for a nonconvex flux with two inflection points is studied. Then the P-system for an isothermal version of the van der Waals gas model is examined in a range of temperatures allowing for a nonconvex pressure function. Eventually the system of the Euler equations of gasdynamics is considered for the polytropic van der Waals gas. In this case, a suitably large specific heat is considered such that the isentropes display a local loss of convexity near the saturation curve and the critical point. Such a nonconvex physical model allows for nonclassical waves to appear as a result of the change of sign of the fundamental derivative of gasdynamics. The solution of the Riemann problem for the considered real gas model reduces to a system of two nonlinear equations for the values of the density on the two sides of the contact discontinuity, much in the same manner of a recently proposed solution method for gases admitting nonlinear wavefields only fully genuine. Solutions containing nonclassical and mixed waves are presented for the three mathematical models. Vacuum formation is described analytically including the presence of composite rarefaction waves, and to the best of authors knowledge, produced numerically here for the first time.

研究の動機と目的

• 非凸フラックスによって真の非線形性が失われる双曲型系におけるリーマン問題の解法を扱う。
• 二つの変曲点を有する非凸フラックス関数を有するスカラー保存則の解析を行う。
• 等温ファンデルワールス気体のP系および多変動的ファンデルワールス気体の完全なエーラー方程式（非凸等エントロピー曲線を有する）への解析を拡張する。
• ガス力学の基本導関数の符号変化に起因する非古典的および混合波構造の出現を調査する。
• 非凸非理想気体モデルにおける真空形成および合成圧縮波の解析的および数値的記述を提供する。

提案手法

• 二つの変曲点を有する非凸フラックス関数を有するスカラー双曲型保存則の正確なスローバーを開発する。
• 等温ファンデルワールス気体のP系にこの解法フレームワークを適用し、圧力関数が非凸である場合を扱う。
• 多変動的ファンデルワールス気体のエーラー方程式にこの手法を拡張し、臨界点および飽和曲線付近での等エントロピー曲線における局所的凸性の喪失を誘発する大きな比熱を用いる。
• 接触不連続面における密度値を求めるために、リーマン問題の解を二つの非線形方程式の連立に還元する。
• 非古典的および混合波を含む解を計算するために、数値的継続法およびパスフォローリング技術を用いる。
• 真空形成および合成圧縮波構造の解析的および数値的検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸フラックスに二つの変曲点が存在する場合、スカラー双曲型保存則のリーマン問題の解構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 圧力関数が非凸である等温ファンデルワールス気体のP系において、どのような波構成が出現するか？
• RQ3 ガス力学の基本導関数の符号変化が、多変動的ファンデルワールス気体のエーラー方程式においてどのように非古典的波を生じさせるか？
• RQ4 非凸非理想気体モデルにおける真空形成の解析的構造は何か？ そして、それがどのように数値的に捉えられるか？
• RQ5 二つの変曲点を有する非凸フラックス系において、合成圧縮波を解析的に記述し、数値的にシミュレートすることは可能か？

主な発見

• スカラー非凸フラックスモデルのリーマン問題は、接触不連続面における密度値を求める二つの非線形方程式の連立に還元されることにより、正確に解かれた。
• このクラスの非凸モデルにおいて、非古典的および混合波構造（合成圧縮波を含む）が、初めて解析的に記述され、数値的にシミュレートされた。
• 非凸スカラーおよび系モデルにおける真空形成が解析的に特徴付けられ、その発生に向けた明示的な条件が導出された。
• 解法フレームワークは、非凸非理想気体動力学における衝撃波、圧縮波、接触不連続面を含む複雑な波干渉を的確に捉えた。
• 数値的実装により、合成圧縮波の存在および構造が確認され、非凸領域における理論的予測の妥当性が検証された。
• この手法は非凸等エントロピー曲線を有する系へも拡張可能であり、ガス力学の基本導関数の符号変化に伴い、非古典的波が自然に出現することを示した。