[論文レビュー] The Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction and its vanishing pressure limit

Qingling Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、クーロン型摩擦を伴うチャプリン圧力のアーブ＝ラスケモデルに対する明示的なリーマン解を構築し、摩擦項が特徴線および不連続性を放物線的形状に曲げ、自己相似性を破ることを示している。圧力が消える極限において、同じ源項を有する対応する輸送方程式の解に収束することを証明し、濃縮および空洞化メカニズムを通じてデルタショック波および真空状態が生じることを示している。

ABSTRACT

The Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction is constructed explicitly and its vanishing pressure limit is analyzed precisely. It is shown that the delta shock wave appears in the Riemann solutions in some certain situations. The generalized Rankine-Hugoniot conditions of the delta shock wave are established and the exact position, propagation speed and strength of the delta shock wave are given explicitly, which enables us to see the influence of the Coulomb-like friction on the Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model clearly. It is shown that the Coulomb-like friction term makes contact discontinuities and delta shock waves bend into parabolic shapes and the Riemann solutions are not self-similar anymore. Finally, the occurrence mechanism on the phenomenon of concentration and cavitation and the formation of delta shock wave and vacuum in the process of vanishing pressure limit are analyzed and identified in detail. Moreover, we show the Riemann solutions to the nonhomogeneous Chaplygin pressure Aw-Rascle model converge to the Riemann solutions to the transportation equations with the same source term as the pressure vanishes. These two results generalize those obtained in [7,38] for homogeneous equations to nonhomogeneous equations and are also applicable to the nonsymmetric system of Keyfitz-Kranzer type with the same Chaplygin pressure and Coulomb-like friction.

研究の動機と目的

• クーロン型摩擦を伴うチャプリン圧力のアーブ＝ラスケモデルに対する明示的リーマン解の構築。
• 圧力が消える極限およびその解構造への影響の分析。
• この極限におけるデルタショック波および真空状態の形成メカニズムの同定。
• 同じ源項を有する対応する輸送方程式のリーマン解に、非同次チャプリンモデルの解が収束することの確立。

提案手法

• デルタショック波の一般化されたランキン＝ユゴニオ条件を用いたリーマン解の明示的構成。
• デルタショック波の位置、伝播速度、強度の正確な式の導出。
• 非同次解と同次解を関連付けるために、変数変換 $ x \to x - \frac{1}{2}\beta t^2 $, $ u \to u - \beta t $ を用いる。
• 解の収束を調べるため、圧力が消える極限 $ A \to 0 $ を分析する。
• 濃縮および空洞化を通じてデルタショック波および真空状態が形成される条件の同定。
• 一般化されたポテンシャル法の適用および摩擦下での接触不連続性の放物線的変形の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーロン型摩擦項は、チャプリン圧力のアーブ＝ラスケモデルにおけるリーマン解の構造および自己相似性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 このモデルの摩擦を伴うリーマン解において、デルタショック波が形成される条件は何か？
• RQ3 クーロン型摩擦下でのデルタショック波の正確な伝播挙動および強度は何か？
• RQ4 リーマン解は圧力が消える極限 $ A \to 0 $ においてどのように振る舞うか？
• RQ5 非同次チャプリンモデルのリーマン解は、圧力が消える際に、同じ源項を有する対応する輸送方程式の解に収束するか？

主な発見

• デルタショック波は $ A \leq A_0 $ のときリーマン解に現れ、その位置 $ x(t) $、速度 $ \sigma(t) $、強度について正確な式が導出される。
• クーロン型摩擦は接触不連続性およびデルタショック波を放物線的形状に曲げ、解の自己相似性を破る。
• $ A \to 0 $ のとき、リーマン解は同じ源項を有する輸送方程式の解に収束し、デルタショック波および真空状態を含む。
• デルタショック波の伝播速度は $ \sigma(t) \to \sigma + \beta t $ に収束し、ここで $ \sigma = \frac{\sqrt{\rho_-}u_- + \sqrt{\rho_+}u_+}{\sqrt{\rho_-} + \sqrt{\rho_+}} $ は $ \rho_- \neq \rho_+ $ の場合である。
• $ \rho_- = \rho_+ $ の場合、デルタショック波の速度は $ \frac{1}{2}(u_+ + u_-) + \beta t $ に収束し、摩擦を伴う輸送方程式の既知の解と一致する。
• デルタショック波および真空状態の形成は、圧力が消える極限における濃縮および空洞化メカニズムに起因し、解構造の詳細な分析により確認された。