[論文レビュー] The Riemannian geometry of orbit spaces. The metric, geodesics, and integrable systems

Dmitry V. Alekseevsky, Andreas Kriegl+2 more|ArXiv.org|Feb 20, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リー群の適切な等長作用に対する軌道空間 $M/G$ におけるリーマン幾何学を展開し、$TM/G$ 上の測地線スプラウを用いて測地線と弾道曲線を定義する。最小測地線弧が凸であること、および極性表現における弾道曲線がスピンを伴うCalogero-Moser系を一般化することを示し、特に運動量が最大の安定化を示す場合、古典的Calogero-Moser系が回復されることを示す。

ABSTRACT

We investigate the rudiments of Riemannian geometry on orbit spaces $M/G$ for isometric proper actions of Lie groups on Riemannian manifolds. Minimal geodesic arcs are length minimising curves in the metric space $M/G$ and they can hit strata which are more singular only at the end points. This is phrased as convexity result. The geodesic spray, viewed as a (strata-preserving) vector field on $TM/G$, leads to the notion of geodesics in $M/G$ which are projections under $M o M/G$ of geodesics which are normal to the orbits. It also leads to `ballistic curves' which are projections of the other geodesics. In examples (Hermitian and symmetric matrices, and more generally polar representations) we compute their equations by singular symplectic reductions and obtain generalizations of Calogero-Moser systems with spin.

研究の動機と目的

• 適切な等長群作用に対する軌道空間 $M/G$ におけるリーマン幾何学の構築。
• $TM/G$ 上の測地線スプラウを用いて $M/G$ における測地線と弾道曲線の定義。
• 分層的軌道空間における最小測地線弧の凸性の研究。
• 対称および極性表現の場合における弾道曲線のハミルトニアン方程式の導出。
• 特異シンプレクティック還元を用いたスピンを伴うCalogero-Moser系の一般化。

提案手法

• $C^{ iny \text{infty}}(M/G)$ を $M$ 上の $G$-不変な滑らかな関数として定義し、$\mathfrak{X}(M/G)$ を層のイデアルを保存する微分作用素として定義する。
• $TM/G$ 上に上昇した $\Gamma \in \mathfrak{X}(TM)^G$ の測地線スプラウを用い、測地線を軌道に直交する積分曲線の射影として定義する。
• 任意の測地線スプラウ $\Gamma$ の積分曲線の射影として弾道曲線を定義する。これは層を越えて移動できる。
• 特異シンプレクティック還元（Sjamaar-Lerman）を適用し、$H(n)/SU(n)$ における弾道曲線のハミルトニアン方程式を導出する。
• $Y \in \mathfrak{su}(n)^*$ のルート空間への分解を用い、$Z = \sum_{\lambda} Y_\lambda / \lambda(A)^2$ を定義して運動を簡略化する。
• $\ddot{A} = \sum_{\lambda} \|Y_\lambda\|^2 / \lambda(A)^3 \cdot \lambda$ および $\dot{Y} = -[Y,Z]$ の方程式を弾道運動について導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な等長作用に対する距離空間 $M/G$ における最小測地線弧はどのように振る舞うか？
• RQ2 軌道空間 $M/G$ における弾道曲線の幾何学的・力学的構造は何か？
• RQ3 $TM/G$ 上の測地線スプラウを用いて、測地線とジャコビ場を層を越えてどのように定義できるか？
• RQ4 $H(n)/SU(n)$ における弾道曲線のハミルトニアン形式は何か？ そしてCalogero-Moser系とどのように関係するか？
• RQ5 特に $Y_\mu = 0$ となる制限ルート $\mu$ がある場合、特異層における弾道曲線はどのように振る舞うか？

主な発見

• $M/G$ における最小測地線弧は凸であり、より特異な層に到達するのは端点でのみであり、$ (M/G)_{\text{reg}} $ が凸かつ稠密であることを示唆する。
• $M/G$ における測地線は、$M$ 内の $G$-不変な測地線で、軌道に直交するものである射影である。
• 弾道曲線は、$TM/G$ 上の測地線スプラウの任意の積分曲線の射影として生じ、層を越えて移動できる。
• $H(n)/SU(n)$ の場合、弾道曲線は $\ddot{A} = \sum_{\lambda} \|Y_\lambda\|^2 / \lambda(A)^3 \cdot \lambda$ および $\dot{Y} = -[Y,Z]$ を満たし、スピンを伴うCalogero-Moser系を一般化する。
• $Y = \sqrt{-1}(cI + w \otimes w^*)$ で $c < 0$ のとき、系は古典的Calogero-Moser系に還元される。
• 特異点で $Y_\mu = 0$（$\mu \in R_0$）となる場合、弾道曲線は壁の交点上を動く。$Y_\mu$ はゼロのまま維持され、運動は特異層に制限された同じ方程式に従う。