[論文レビュー] The Riemannian Hebbarkeitss\"atze for pseudorigid spaces

João Lourenço|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値の完備離散値評価環 $\mathcal{O}_K$ 上の擬剛性空間に対して、リーマンの可除特異点定理——可除特異点の定理——を確立する。ノルム理論的計算を擬アフィン代数に適用し、ノエター正規化の擬剛性版を用いることで、局所的に有界な関数が codimension $\geq 1$ の閉部分集合上に一意に拡張可能であり、正則関数が codimension $\geq 2$ の場合に拡張可能であることを証明する。これらの結果により、解析的手法を用いて、de Jong の $\mathcal{O}_K$-平坦正規形式的スキームの全体切断に関する定理を再証明する。

ABSTRACT

We prove Riemann's theorems on extensions of functions over certain mixed characteristic analytic adic spaces, first introduced by Johansson and Newton. We use these results to reprove a theorem of de Jong identifying global sections of an $\mathcal{O}_K$-flat normal formal scheme, locally formally of finite type over $\mathcal{O}_K$, with locally powerbounded sections over the generic fibre.

研究の動機と目的

• 混合特徴値の解析的アーディック空間への古典的リーマンの可除特異点定理——正則関数の特異点を越えた拡張に関するもの——の拡張を図ること。
• 混合特徴値における $\mathcal{O}_K$-平坦形式的スキームを研究するための枠組みとして、擬剛性空間の理論を構築すること。
• 解析的手法を用いて、$\mathcal{O}_K$-平坦正規形式的スキームの全体切断がその一般ファイバー上の局所的に有界関数と同一視されることを再証明すること。

提案手法

• 特異点集合 $Z$ が特別ファイバー上にある $\mathcal{O}_K$-平坦正規擬アフィン環 $A$ を持つ正規擬剛性空間 $X = \mathrm{Spa}\, A$ の場合に還元すること。
• $D_n = \mathcal{O}_K[[T]]\langle \pi/T^n \rangle[1/T]$ を係数とする基本的な擬アフィン代数 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ におけるノルムの直接計算により、基本ケースにおける可除特異点定理を検証すること。
• ノエター正規化補題の擬剛性設定への適応：$k((T))$-アフィン代数の有限単射を、十分大きな $n$ に対して $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上の擬アフィン代数への有限単射に引き上げること。
• リュトケボームルトの補題の類似物としての正則関数および有界関数の移行補題の開発により、特異点を越えた関数の拡張を可能にする。
• ザリスキの主要定理および形式的関数の定理を用いて、全体的な拡張問題を主理想の定義に関する場合に還元すること。
• 最初の可除特異点定理および解析的点に関する位相的結果を応用し、形式的スキームの全体切断に関する de Jong の定理を再証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンの古典的可除特異点定理は、混合特徴値の解析的アーディック空間へ拡張可能か？
• RQ2 正規擬剛性空間 $X$ 上で、$\mathrm{codim}_X Z \geq 1$ である閉部分集合 $Z$ の補集合上で定義された局所的に有界関数は、$X$ 全体に一意に拡張可能か？
• RQ3 同様に、$\mathrm{codim}_X Z \geq 2$ の場合、正則関数は一意に拡張可能か？
• RQ4 解析的手法を用いて、$\mathcal{O}_K$-平坦正規形式的スキームの全体切断に関する de Jong の定理を再証明可能か？
• RQ5 関手 $F: C \to D$ が、形式的スキーム $X$ を三重組 $(X_\eta, (X_{\text{red}})^{\text{perf}}, \mathrm{sp}_X)$ に送るとき、$k$ が代数的に閉じている場合に、完全かつ忠実であるか？

主な発見

• 最初の可除特異点定理が成り立つ：$X$ が $\mathcal{O}_K$ 上の正規擬剛性空間であり、$Z \subset X$ がザリスキ閉部分集合で $\mathrm{codim}_X Z \geq 1$ であるとき、制限写像 $\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X \setminus Z)$ は環の同型である。
• 第二の可除特異点定理が成り立つ：$\mathrm{codim}_X Z \geq 2$ のとき、制限写像 $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X \setminus Z)$ は環の同型である。
• ノエター正規化の擬剛性版が確立された：$k((T))$-アフィン代数の有限単射が、十分大きな $n$ に対して $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上の擬アフィン代数への有限単射に引き上げられる。
• $\mathcal{O}_K$-平坦正規形式的スキーム $X$（$\mathcal{O}_K$ 上局所的に有限型）の全体切断は、最初の可除特異点定理と解析的点に関する位相的結果を用いて、その一般ファイバー $X_\eta$ 上の局所的に有界関数の環と同型であることが示された。
• 関手 $F: C \to D$ が、$k$ が代数的に閉じているとき、完全かつ忠実である。これは、$X$ の整数的構造がその一般ファイバーと特別ファイバーから回復されることを意味する。
• 特異化写像 $\mathrm{sp}_X: |X| \to |X_{\text{red}}|$ は適切に定義され、関手的であり、評価環の場合には古典的な特異化と一致する。これは、以前の定義を一般化する。