[論文レビュー] The role of viscous regularization in dynamical problems, strain localization and mesh dependency

Alexandros Stathas, Ioannis Stefanou|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

Elasticity and Material Modeling参考文献 58被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、複素周波数および波数領域への分散解析を拡張することで、ひずみ局在化に対する粘性正則化の再検討を行い、数学的平面におけるひずみ局在化がこれらの条件下でも可能であることを証明している。研究では、有限要素解析におけるひずみ軟化材料の動的正則化に関する従来の仮定に反し、粘性正則化が施された後でも不安定な波動伝搬モードが存在することにより、メッシュ依存の局在化が生じることを示している。

ABSTRACT

Strain localization is responsible for mesh dependence in numerical analyses concerning a vast variety of fields such as solid mechanics, dynamics, biomechanics and geomechanics. Therefore, numerical methods that regularize strain localization are paramount in the analysis and design of engineering products and systems. In this paper we revisit the elasto-viscoplastic, strain-softening, strain-rate hardening model as a means to avoid strain localization on a mathematical plane in the case of a Cauchy continuum. Going beyond previous works (de Borst and Duretz (2020); Needleman (1988); Sluys and de Borst (1992); Wang et al. (1997)), we assume that both the frequency {\omega} and the wave number k belong to the complex plane. Therefore, a different expression for the dispersion relation is derived. We prove then that under these conditions strain localization on a mathematical plane is possible. The above theoretical results are corroborated by extensive numerical analyses, where the total strain and plastic strain rate profiles exhibit mesh dependent behavior.

研究の動機と目的

• ひずみ軟化状態下におけるエラストー・ビジコプラスティック材料の安定性および局在化挙動を調査すること。
• 実周波数を用いた粘性正則化が有限要素シミュレーションにおけるメッシュ依存性を排除するという仮定に疑問を呈すること。
• 複素周波数および波数が分散関係におけるひずみ局在化に果たす役割を分析すること。
• ωおよびkが両方とも複素数である場合に、粘性正則化のもとでも数学的平面におけるひずみ局在化が可能であることを確立すること。
• 動的ひずみ軟化問題における均一な変形状態のラプラス安定性解析を実施すること。

提案手法

• 周波数ωおよび波数kが複素平面に属すると仮定することで、新しい分散関係を導出する。
• 均一な変形状態の安定性を評価するために、ラプラス安定性解析を適用する。
• 分岐解析を用いて、エラストー・ビジコプラスティック材料におけるひずみ局在化の発生を検討する。
• 位相速度（cr）と振幅速度（ci）が異なる単一周波数正弦波パルスを用い、摂動の増大度を評価する。
• 複素解析およびロピタルの定理を用いて、複素平面における極における波数の漸近的挙動を評価する。
• 理論的予測の妥当性を検証するため、数値解析を実施してメッシュ依存のひずみ局在化を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的エラストー・ビジコプラスティックモデルにおいて粘性正則化が施されても、数学的平面におけるひずみ局在化が生じ得るか？
• RQ2 ωおよびkを複素数と仮定した場合、実周波数を仮定した場合と比較して、安定性および局在化挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 位相速度（cr）と振幅速度（ci）の相対的な大きさが、均一な変形状態の安定性に果たす役割は何か？
• RQ4 粘性正則化が施されているにもかかわらず、なぜ有限要素シミュレーションにおいてメッシュ依存性が残るのか？また、これは複素波動伝搬とどのように関係しているか？
• RQ5 摂動が指数関数的に増大する条件は何か？これは不安定性およびひずみ局在化の兆候を示している。

主な発見

• ωおよびkが両方とも複素数である場合、粘性正則化のもとでも数学的平面におけるひずみ局在化が可能であり、これまではそのような仮定が否定されていた。
• 振幅速度ciと位相速度crが安定性を決定づける：|ci| > |cr| または ciとcrが異符号のとき、局在化が生じる。
• ci < 0 かつ cr > 0 の場合、摂動は減衰し、安定性が保たれ、局在化は回避される。
• ci > 0 かつ cr < 0 の場合、振幅はパルスの先端で最も速く増大し、指数関数的増大を示し、最小メッシュサイズで避けがたい局在化が生じる。
• 理論的解析により、|zr| → 0 のとき、波数の虚数部kiは定数cに近づくことが示され、安定な波フロント伝播を示している。
• 数値結果により、全ひずみ率および塑性ひずみ率プロファイルにメッシュ依存性が確認され、理論的不安定性予測の妥当性が裏付けられた。