[論文レビュー] The scattering problem for the $abcd$ Boussinesq system in the energy space

Chulkwang Kwak, Claudio Muñoz+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、エネルギー空間 $H^1 \times H^1$ 内で1次元 $abcd$ ブッシネスク系の小規模解について、十分に分散的であるとされるパrameter領域において、グローバルな減衰および散乱を確立する。先行研究のスカラー型モデルにインspiredされた3つの特化したバージェル汎関数を構築することで、初期データがエネルギー空間内で小さい限り、偶性や追加の減衰仮定を必要とせず、光円錐 $|x| \leq |t|$ 内で局所的な空間的強力な減衰を証明する。

ABSTRACT

The Boussinesq $abcd$ system is a 4-parameter set of equations posed in $\mathbb{R}_t imes \mathbb{R}_x$, originally derived by Bona, Chen and Saut as first order 2-wave approximations of the incompressible and irrotational, two dimensional water wave equations in the shallow water wave regime, in the spirit of the original Boussinesq derivation. Among many particular regimes, depending each of them in terms of the value of the parameters $(a,b,c,d)$ present in the equations, the "generic" regime is characterized by the setting $b,d>0$ and $a,c<0$. The system is hamiltonian if also $b=d$. The equations in this regime are globally well-posed in the energy space $H^1 imes H^1$, provided one works with small solutions. In this paper, we investigate decay and the scattering problem in this regime, which is characterized as having (quadratic) long-range nonlinearities, very weak linear decay $O(t^{-1/3})$ because of the one dimensional setting, and existence of non scattering solutions (solitary waves). We prove, among other results, that for a sufficiently dispersive $abcd$ systems (characterized only in terms of parameters $a, b$ and $c$), all small solutions must decay to zero, locally strongly in the energy space, in proper subset of the light cone $|x|\leq |t|$. We prove this result by constructing three suitable virial functionals in the spirit of works by Kowalczyk, Martel and the second author, and more recently by the last three authors (valid for the simpler scalar "good Boussinesq" model), leading to global in time decay and control of all local $H^1 imes H^1$ terms. No parity nor extra decay assumptions are needed to prove decay, only small solutions in the energy space.

研究の動機と目的

• エネルギー空間 $H^1 \times H^1$ 内で、$abcd$ ブッシネスク系の小規模解の散乱および減衰挙動を調査すること。
• 1次元における2次項の長距離非線形性および弱い線形減衰 $O(t^{-1/3})$ に起因する課題に対処すること。
• 初期データに偶性や追加の減衰仮定を課さずに、減衰および散乱を確立すること。
• すべての小規模解が光円錐 $|x| \leq |t|$ 内でエネルギー空間内において局所的に強く減衰するパrameter領域を同定すること。

提案手法

• K. Wang らの先行研究の精神に則った、$abcd$ 耦合系に適応した3つの新規バージェル汎関数の構築。
• ハミルトニアン構造とエネルギー保存則を用いて、バージェル汎関数の時間発展を制御すること。
• 特性多項式 $p(\mu)$ を用いた分散性の分析により、すべての $k \in \mathbb{R}$ に対して $|w'(k)| > 0$ が成り立つパrameter領域を同定し、非退化性を保証すること。
• スケーリングにより $b = d = 1$ に簡略化することで、パrameter空間の明確な解析を可能にすること。
• $\mathcal{P}$ と呼ばれるパラメータ集合の特定：$b > \frac{2}{9}$ および $\nu$ の有界区間を含む不等式による定義。
• $\mathcal{P}_0(b)$ を表す代替パラメータ化（$\nu$ と $b$ を用いる）を導出し、その後、分散条件 $\mathcal{B}_4(b)$ との共通部分をとることで、許容可能なパrameter領域 $\mathcal{P}(b)$ を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのパrameter条件下で、$abcd$ ブッシネスク系はエネルギー空間内での小規模解に対してグローバル減衰を示すか？
• RQ2 初期データの偶性や追加の空間的減衰を仮定せずに、減衰を確立できるか？
• RQ3 分散関係は、系の線形化された運動の非退化性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 バージェル汎関数は、光円錐内での局所的 $H^1 \times H^1$ ノルムをどのように制御し、減衰を強制するか？
• RQ5 主な減衰結果が成り立つパラメータ集合 $\mathcal{P}$ の正確な特徴づけは何か？

主な発見

• 十分に分散的とされるすべての $abcd$ ブッシネスク系（特に $\mathcal{P}$ に属するパラメータを有するもの）について、小規模解は領域 $|x| \leq |t|$ 内でエネルギー空間内において局所的に強く減衰する。
• 3つの巧みなバージェル汎関数の構築により、すべての局所的 $H^1 \times H^1$ ノルムが時間全域にわたりグローバルに制御され、減衰が確立される。
• パラメータ領域 $\mathcal{P}$ は $b > \frac{2}{9}$ および $\nu$ の有界区間を満たすことで特徴づけられ、分散多項式 $p(\mu)$ が非負実数根を持たないことを保証する。
• 初期データに偶性や追加の減衰仮定を課さず、エネルギー空間内での初期データの小規模性のみに依存して結果が成り立つ。
• 系のハミルトニアン構造とエネルギー保存則は、バージェル汎関数の構築と制御に不可欠である。
• 解析により、同定されたパラメータ領域下で特性多項式 $p(\mu)$ がすべての $\mu \geq 0$ に対して正であり、群速度 $w'(k)$ の導関数が消えないことが確認された。