[논문 리뷰] The Schmidt number and partially entanglement breaking channels in infinite dimensions

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 19.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스미스 수와 부분적으로 얽힘을 풀어주는 채널을 무한차원 양자 시스템으로 일반화하며, 가산적으로 분해되지 않는 상태를 다루기 위해 본질적 상한을 이용한 측도론적 정의를 통해 스미스 수를 정의한다. 주요 기여는 유한한 스미스 수를 가지나 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태들의 볼록 조합으로 분해될 수 없는 상태의 존재를 증명하고, 무한차원에서 얽힘을 풀어주는 채널이 유한차원의 직관과는 달리 무한 랭크의 크라우스 연산자를 요구할 수 있음을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

A definition of the Schmidt number of a state of an infinite dimensional bipartite quantum system is given and properties of the corresponding family of Schmidt classes are considered. The existence of states with a given Schmidt number such that any their countable convex decomposition does not contain pure states with finite Schmidt rank is established. Partially entanglement breaking channels in infinite dimensions are studied. Several properties of these channels well known in finite dimensions are generalized to the infinite dimensional case. At the same time, the existence of partially entanglement breaking channels (in particular, entanglement breaking channels) such that all operators in any their Kraus representations have infinite rank is proved.

연구 동기 및 목표

• 유한차원에서의 스미스 수 개념을 무한차원 이분할 양자 시스템으로 확장하기.
• 가산적으로 분해되지 않는 분리 가능 상태로 인해 유한차원 정의가 무한차원에서 부적절해지는 문제를 해결하기.
• 무한차원에서 부분적으로 얽힘을 풀어주는 채널을 특성화하고, 유한차원 성질을 일반화하기.
• 그러한 채널에 대한 크라우스 표현의 구조를 조사하며, 특히 크라우스 연산자의 랭크를 다루기.
• 유한한 스미스 수를 가지나 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태들의 볼록 조합으로 분해될 수 없는 상태의 존재를 보여주기.

제안 방법

• 스펙트럼 측도에 대한 스미스 계수의 본질적 상한을 이용한 연속적이고 측도론적인 스미스 수 정의를 제안한다.
• 스미스 랭크 ≤ k인 순수 상태의 볼록 클로처로 스미스 클래스를 정의하며, 이가 스미스 수 ≤ k인 상태의 집합과 동치임을 보인다.
• k-양성 맵을 통한 스미스 클래스의 특성화로, [18]에서의 유한차원 결과를 일반화한다.
• 모든 스미스 클래스 순서 k의 상태가 스미스 랭크 ≤ k인 순수 상태에 지지된 확률 측도의 바리센터임을 보여주기 위해 바리센터 표현을 사용한다.
• 유한한 스미스 수를 가지나 어떤 가산 볼록 분해도 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태를 포함하지 않는 상태의 구체적 예를 구성한다.
• 연속 군의 유니터리 변환에 대한 평균화 기법과 유니터리 확장 기법을 사용하여, 모든 크라우스 연산자가 무한 랭크인 무한차원에서의 얽힘을 풀어주는 채널의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 볼록 분해가 실패할 경우, 스미스 수가 무한차원 이분할 양자 상태로 일관되게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 무한차원에서 스미스 클래스는 여전히 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태의 볼록 클로처와 일치하는가?
• RQ3 스미스 클래스를 k-양성 맵을 통해 특성화하는 방법이 무한차원으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 유한한 스미스 수를 가지나 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태들의 볼록 조합으로 쓸 수 없는 상태가 존재하는가?
• RQ5 무한차원에서 얽힘을 풀어주는 채널이 무한 랭크의 크라우스 연산자를 가질 수 있으며, 이는 유한차원의 경우와 어떻게 다를까?

주요 결과

• 무한차원에서 스미스 수는 스미스 계수의 본질적 상한을 통해 엄밀히 정의되며, 이는 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태의 볼록 클로처와 일관성을 유지한다.
• 무한차원에서 순서 k의 스미스 클래스는 스미스 랭크 ≤ k인 순수 상태의 볼록 클로처와 정확히 일치하며, 이는 유한차원 결과를 일반화한 것이다.
• 스미스 수 ≤ k인 상태의 집합은 k-양성 맵을 통해 특성화되며, [18]의 정리 1을 무한차원으로 확장한 것이다.
• 유한한 스미스 수 k를 가지는 상태들이 존재하며, 이들 중에는 어떤 가산 볼록 분해도 유한한 스미스 랭크를 가진 순수 상태를 포함하지 않는 경우가 있다.
• 무한차원에서 부분적으로 얽힘을 풀어주는 채널은 모든 크라우스 연산자가 무한 랭크일 수 있으며, 이는 유한차원에서의 직관과 모순된다. 즉, 이러한 채널은 유한한 랭크의 연산자로 생성되지 않는다.
• 무한차원에서 크라우스 표현이 전적으로 무한 랭크 연산자로 이루어진 얽힘을 풀어주는 채널이 존재하며, 이는 유한차원 사례와의 근본적인 구조적 차이를 보여준다.