[論文レビュー] The Sign Problem, PT Symmetry and Abelian Lattice Duality

Peter N. Meisinger, Michael C. Ogilvie|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限密度の量子場理論に一般的に見られる複素作用を持つアーベル格子場理論における符号問題を、$πτ$（PT）対称性と格子双対性を活用することで解決する。非ゼロの化学ポテンシャルやミンコフスキー電場を有するモデルが、実数で正の重みを持つ双対モデルに写像可能であることが示され、標準的な解析的手法およびシミュレーション手法の適用が可能となり、強結合領域において空間的に周期的でない相が豊富に現れることが明らかになった。

ABSTRACT

Lattice field theories with complex actions are not easily studied using conventional analytic or simulation methods. However, a large class of these models are invariant under CT, where C is charge conjugation and T is time reversal, including models with non-zero chemical potential. For Abelian models in this class, lattice duality maps models with complex actions into dual models with real actions. For extended regions of parameter space, calculable for each model, duality resolves the sign problem for both analytic methods and computer simulations. Explicit duality relations are given for models for spin and gauge models based on Z(N) and U(1) symmetry groups. The dual forms are generalizations of the Z(N) chiral clock model and the lattice Frenkel-Kontorova model, respectively. From these equivalences, rich sets of spatially-modulated phases are found in the strong-coupling region of the original models.

研究の動機と目的

• 複素作用を持つ格子場理論における符号問題、特に非ゼロの化学ポテンシャルにおける問題に対処すること。
• $πτ$ 対称性と格子双対性の間の関係をアーベルモデルに対して確立すること。
• $πτ$ 対称性に対して不変なモデルが、実数で正の重みを持つ双対モデルに写像可能であることを示すこと。
• これらの双対モデルが、既知の強縮物理学の手法を用いて、空間的に周期的でない相を含む豊富な相構造を示すことを示すこと。

提案手法

• $π$ を電荷共役、$\tau$ を時間反転とする $πτ$ 対称性を用い、移行行列の固有値が実数または複素共役対を形成することを保証する。
• フーリエ変換作用素 $\mathcal{F}$ を用いて、元の複素移行行列 $T$ を実数の双対移行行列 $\tilde{T} = \mathcal{F}T\mathcal{F}^\dagger$ に写像し、固有値構造を保存する。
• $Z(N)$ および $U(1)$ モデルに対してヴィライン（熱核）作用を用い、ポincare再まとめとデルタ関数制約を介して双対表現を導出する。
• 元の変数を統合し、双対格子上に双対変数 $p_\nu(x)$ および $m(X)$ を導入することで、$Z(N)$ および $U(1)$ モデルの双対分配関数を導出する。
• 双対 $U(1)$ モデルを、$\mu$ に線形に依存する項を有する格子サインゴルドンモデルに写像し、フレンケル＝コンタローヴァモデルに対応させる。
• 双対重みが正となるパラメータ空間の領域（正の双対重み領域、PDW領域）を特定し、標準的なシミュレーションおよび解析手法の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{CT}$ 対称性と双対性を用いて、複素作用を持つアーベル格子場理論における符号問題を解決できるか？
• RQ2 尤も強く結合した領域において、双対モデルの相図の構造はいかなるものか？
• RQ3 非ゼロの化学ポテンシャルを持つモデルの双対表現において、空間的に周期的でない相はどのようにして出現するか？
• RQ4 標準的な解析的および計算的手法が、双対的で実数の重みを持つ表現にどの程度適用可能か？
• RQ5 $Z(N)$ および $U(1)$ モデルの双対形式は、元の複素作用形式では見えなかった新たな相を明らかにできるか？

主な発見

• 化学ポテンシャルを有する $Z(N)$ スピンモデルの双対モデルは、PDW領域において実数で正の重みを持つ一般化されたキラルクロックモデルである。
• 化学ポテンシャルを有する $U(1)$ モデルの双対モデルは、$\mu$ に線形に依存する項を有する格子フレンケル＝コンタローヴァモデルであり、一様な場を有するサインゴルドンモデルに対応する。
• 空間的に周期的でない相、例えば非整数比構造や整数比構造が、双対モデルの強結合領域において自然に出現する。
• 正の双対重み（PDW）領域は計算可能であり、広範なパラメータ範囲をカバーしており、低温・高温展開、平均場理論、およびレノルム群法の適用が可能である。
• 双対形式により、双対理論における標準的手法を用いて局所演算子の相関関数を構成可能である。
• 空間的に周期的でない相の出現は、移行行列における複素共役固有値対と関連しており、これは $\mathcal{CT}$ 対称性の兆候である。この現象はフェルミオン系に限定されない。