[論文レビュー] The smash product of symmetric functions. Extended abstract

Marcelo Aguiar, Walter Ferrer+1 more|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、対称関数に新しいホップ代数積「スモーズ積」を導入し、対称群表現のインダクションとリストラクションを組み合わせた構成により、古典的な内部積と外部積の間を補間する。主な貢献は、非可換対称関数における構造定数の組合せ論的規則と、アルファベットを用いた双対性により定義される、多重関数への双対コプロダクトである。スモーズコプロダクトは、積アルファベット $(\mathbf{1}+{\bf X})\times(\mathbf{1}+{\bf Y}) - \mathbf{1}$ における評価によって与えられ、置換の双対代数におけるスモーズ積と双対性を確立する。

ABSTRACT

We construct a new operation among representations of the symmetric group that interpolates between the classical internal and external products, which are defined in terms of tensor product and induction of representations. Following Malvenuto and Reutenauer, we pass from symmetric functions to non-commutative symmetric functions and from there to the algebra of permutations in order to relate the internal and external products to the composition and convolution of linear endomorphisms of the tensor algebra. The new product we construct corresponds to the smash product of endomorphisms of the tensor algebra. For symmetric functions, the smash product is given by a construction which combines induction and restriction of representations. For non-commutative symmetric functions, the structure constants of the smash product are given by an explicit combinatorial rule which extends a well-known result of Garsia, Remmel, Reutenauer, and Solomon for the descent algebra. We describe the dual operation among quasi-symmetric functions in terms of alphabets.

研究の動機と目的

• 対称群表現の古典的内部積と外部積の間を滑らかに補間する、対称関数に新しい演算を定義すること。
• 非可換対称関数のレベルにまで、構造定数の組合せ論的規則を用いてこの補間を拡張すること。
• アルファベットを用いた新しいコプロダクト構成により、多重関数における双対演算を定義すること。
• 置換の代数におけるスモーズ積と、多重関数におけるコプロダクトの間の双対性を確立すること。
• 自己準同型の合成と畳み込みを用いて、対称関数、非可換対称関数、テンソル代数を統一的に結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• スモーズ積は、内部積と外部積をテンソル代数の自己準同型に持ち上げることで構成され、それぞれ合成と畳み込みに対応する。
• マルヴェヌト–ルーテナー同型を用いて、対称関数と非可換対称関数、置換の代数との関係を確立する。
• 非可換対称関数におけるスモーズ積の構造定数は、ガルシア–レミル–ルーテナー–ソロモンの降下代数に関する結果を拡張する明示的な組合せ論的規則によって与えられる。
• 多重関数における双対コプロダクトは、スモーズ積とのペアリングを用い、関数をアルファベット $(\mathbf{1}+{\bf X})\times(\mathbf{1}+{\bf Y}) - \mathbf{1}$ において評価することで定義され、これは ${\bf X}$、${\bf Y}$、${\bf X} \times {\bf Y}$ の直和に、逆辞書式順序を施したものである。
• スモーズコプロダクトを備えた多重関数ホップ代数のアンチポードは、${\bf X}^*$（${\bf X}$ のすべてのカルテシアン積の直和）の逆順序における評価によって与えられると示された。
• 完成化された双対空間 $\widehat{\mathcal{Q}}$ 上に、写像 $\varphi(f) = f({\bf e}({\bf X}))$ を定義し、これが $\Sigma$ 上の $(*,\Delta)$ と $(\#,\Delta)$ の同型写像と双対的であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称群表現の内部積と外部積の間を滑らかに補間する、対称関数における新しい積を定義できるか？
• RQ2 非可換対称関数代数におけるスモーズ積の組合せ論的構造は何か？ また、降下代数に関する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ3 多重関数における双対コプロダクトはどのように実現され、アルファベットの観点からその代数的・組合せ論的解釈は何か？
• RQ4 置換の代数におけるスモーズ積と双対的な、多重関数ホップ代数におけるコプロダクトの正確な形は何か？
• RQ5 スモーズコプロダクトを備えた多重関数ホップ代数のアンチポードは、${\bf X}^*$ における評価とどのように関係しているか？

主な発見

• スモーズ積は、対称群表現のインダクションとリストラクションの組み合わせとして実現され、内部積と外部積の統一的補間を提供する。
• 非可換対称関数代数において、スモーズ積の構造定数は、ガルシア–レミル–ルーテナー–ソロモンの降下代数に関する結果を拡張する明示的な組合せ論的規則によって与えられる。
• 多重関数ホップ代数における双対コプロダクト $\Delta_{\#}$ は、明示的に $\Delta_{\#}(f({\bf X})) = f((\mathbf{1}+{\bf X})\times(\mathbf{1}+{\bf Y}) - \mathbf{1})$ と与えられ、アルファベットは ${\bf X}$、${\bf Y}$、${\bf X} \times {\bf Y}$ の直和に逆辞書式順序を施したものである。
• スモーズコプロダクトを備えた多重関数ホップ代数のアンチポードは $S_{\#}(f) = f(-{\bf X}^*)$ であり、${\bf X}^*$ は ${\bf X}$ のすべてのカルテシアン積の直和に逆辞書式順序を施したものである。
• $\varphi(f) = f({\bf e}({\bf X}))$（${\bf e}({\bf X})$ は厳密に増加する列のアルファベット）は、置換の代数における畳み込み構造とスモーズ積構造の同型写像と双対的であることが示された。
• スモーズコプロダクトを備えたホップ代数 $\mathcal{Q}$ は、連結ホップ代数 $(\Sigma, \#, \Delta)$ と双対ペアリングされ、両者の構造の完全な双対性が確立された。