[論文レビュー] The smoothing of $m$-subharmonic functions

Szymon Pliś|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kähler多様体および厳密強凸領域において、$m$-下調和関数に対するRichberg型近似定理を確立し、連続な$m$-下調和関数が上から滑らかで厳密な$m$-下調和関数によって一様近似可能であることを証明する。主な手法は、ディリクレ境界値を伴う複素ヘッシアン方程式の解法にあり、滑らかな解の存在と一意性を保証することで、滑らか化手続きを可能にし、連続関数に対する$m$-下調和性の異なる定義の同値性という基礎的問題を解決する。

ABSTRACT

We prove Richberg type theorem for $m$-subharmonic function. The main tool is the complex Hessian equation for which we obtain the existence of the unique smooth solution in strictly pseudoconvex domains.

研究の動機と目的

• 連続関数に対する$m$-下調和性の異なる定義が一致するかどうかという基礎的問題を解消すること。
• コンパクトKähler多様体および厳密強凸領域における$m$-下調和関数に対するRichberg型定理を確立すること。
• 厳密強凸領域における複素ヘッシアン方程式のディリクレ問題に対して、滑らかな解の存在と一意性を証明すること。
• 連続な$m$-下調和関数を滑らかで厳密な$m$-下調和関数によって上から制御可能な上界を保ちつつ近似する構成的技法を提供すること。

提案手法

• 滑らかな近似関数の構成に中心的な分析的道具として、複素ヘッシアン方程式 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = dV$ を用いる。
• 非直交な複素ベクトル場に適応された、一様、勾配、および内部の2階微分推定式を含む事前推定を適用する。
• $m$-下調和関数の比較原理を用いて、下界関数の挙動を制御し、解の一意性を保証する。
• 有限個の開被覆上に定義された局所的な滑らかな$m$-下調和関数の対数平均を用いて滑らかな近似を構成する。
• Levi形式と曲率項を含むバリア関数の議論を用いて境界挙動を制御し、2階推定式を導出する。
• 厳密強凸領域における厳密な擬・強凸関数の存在に依存し、ヘッシアン方程式の可解性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler多様体上での連続な$m$-下調和関数は、上から滑らかで厳密な$m$-下調和関数によって一様近似可能か？
• RQ2 厳密強凸領域における複素ヘッシアン方程式の滑らかな解の存在は、連続関数に対する$m$-下調和性の異なる定義の同値性を示唆するか？
• RQ3 境界データが連続である場合、厳密強凸領域における複素ヘッシアン方程式のディリクレ問題は一意に解かれるか？
• RQ4 $m$-下調和関数の比較原理は、厳密$m$-下調和関数による摂動を含む形に拡張可能か？ その結果、近似定理を証明できるか？

主な発見

• 定理1は、コンパクトKähler多様体上での任意の連続な$\omega$-$m$-下調和関数が、与えられた$h$-近傍内で上から滑らかで厳密な$\omega$-$m$-下調和関数によって一様近似可能であることを確立する。
• 定理2は、連続な厳密$m$-下調和関数が、厳密性を保ったまま上から滑らかで厳密な$m$-下調和関数によって近似可能であることを証明する。
• 定理3は、境界データが連続である有界な厳密強凸領域において、複素ヘッシアン方程式 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = dV$ の滑らかな解が存在かつ一意に存在することを保証する。
• 系4は、境界データが連続である厳密強凸領域において、同次ヘッシアン方程式 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = 0$ に対して連続解が存在することを確認する。
• 本稿は、連続関数に対して、微分不等式による定義と滑らかな関数による近似による定義という、$m$-下調和性の2つの主要な定義が同値であることを示すことにより、基礎的問題を解決する。
• 局所的な滑らかな関数の対数平均による近似の構成により、得られる関数が厳密$m$-下調和のままであり、所望の上界内に収まることが保証される。