[論文レビュー] The Sparsest Solutions to $Z$-Tensor Complementarity Problems

Ziyan Luo, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、やや厳しい条件下で、Z-テンソル補完問題（ZTCPs）のスパースな解が、線形目的関数を伴う多項式プログラミング問題を解くことによって正確に得られることを確立している。主な貢献は、Z-テンソル構造に基づく検証可能な正確な緩和条件であり、これはスパースな解がNP困難な$\olcurly{0}$-ノルム最小化を避けて多項式最適化によって得られることを保証する。

ABSTRACT

Finding the sparsest solutions to a tensor complementarity problem is generally NP-hard due to the nonconvexity and noncontinuity of the involved $\ell_0$ norm. In this paper, a special type of tensor complementarity problems with $Z$-tensors has been considered. Under some mild conditions, we show that to pursuit the sparsest solutions is equivalent to solving polynomial programming with a linear objective function. The involved conditions guarantee the desired exact relaxation and also allow to achieve a global optimal solution to the relaxed nonconvex polynomial programming problem. Particularly, in comparison to existing exact relaxation conditions, such as RIP-type ones, our proposed conditions are easy to verify.

研究の動機と目的

• 非凸的かつ不連続的な$\nolcurly{0}$-ノルムのため、テンソル補完問題（TCPs）におけるスパース解の探索がNP困難であるという問題に対処すること。
• Z-テンソルTCPのスパース解が、凸的または多項式緩和によって正確に回復可能な条件を同定すること。
• 多項式制約を伴うTCPsにおけるスパース解問題を計算的に扱いやすい方法で解くこと。
• 既存の正確な緩和条件（例：RIP型）を非線形かつ高次元のテンソル設定に一般化し、検証性を向上させること。
• Z-テンソル構造が固定点反復と多項式プログラミングによるグローバル最適化を可能にし、解の一意性とスパarsityを保証すること。

提案手法

• スパース解問題を、テンソル補完制約（$x \ne 0$、$\nolcurly{A}x^{m-1} - b \ne 0$、および$\nolcurly{A^T}x^{m-1} - b \ne 0$）の下での$\nolcurly{0}$-ノルム最小化として定式化する。
• テンソル補完系に基づく固定点写像$T_{s,\nolcurly{B},b}$を導入し、$Z$-関数の単調性と連続性を活用する。
• Z-テンソルおよび強$M$-テンソルの理論を用いて、実行可能集合内での最小解の存在と一意性を保証する。
• 固定点定理（A1976, DW2015）を適用し、区間$[\nolcurly{A}^{-1}b]^{1/(m-1)}$にスケーリングされた境界内に解$x^*$の存在を証明する。
• スパース解の$\nolcurly{0}$-ノルム問題と、線形目的関数を伴う緩和された多項式計画問題の唯一の解との間の同値性を確立する。
• 結果を$\nolcurly{P}^{Z}_{m,n}$内、すなわち置換行列を用いて$Z$-テンソルに変換可能なテンソルへ一般化し、正確な緩和性質を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-テンソル補完問題のスパース解が、多項式プログラミングによって正確に回復可能な条件は何か？
• RQ2 TCPsにおける$\nolcurly{0}$-ノルム最小化を、グローバル最適性を保ちながら線形目的関数を伴う多項式計画問題に緩和できるか？
• RQ3 $Z$-テンソルの構造が、正確な緩和とスパース解の一意性をどのように可能にするか？
• RQ4 提案された正確な緩和条件は、RIP やヌル空間性質といった既存の条件と比較して、検証性がどう異なるか？
• RQ5 この解法は、$Z$-テンソルではないが、置換同値なテンソルへも拡張可能か？

主な発見

• Z-テンソル補完問題のスパース解は、線形目的関数を伴う多項式プログラミング問題の唯一の解として正確に回復可能である。
• $\nolcurly{A}$が$Z$-テンソルであり、$b \ne 0$であるとき、テンソル補完問題の解$x^*$は、実行可能集合内の唯一の最小要素であり、同時にスパース解である。
• 強$M$-テンソルの場合、緩和問題$(P_1)$は一意の解を持ち、これは元の$(P_0)$問題のスパース解と一致する。
• 提案された正確な緩和条件は、RIP やヌル空間性質といった従来の条件と比較して、検証が容易である。
• 解法は$\nolcurly{P}^{Z}_{m,n}$内、すなわち置換行列を用いて$Z$-テンソルに変換可能なテンソルへも拡張可能であり、正確な回復性を保持する。
• 固定点反復法（例：ガウス＝ザイデル法）を用いて、写像$T_{s,\nolcurly{B},b}$が$\nolcurly{R}^n_+$上で連続的かつ単調増加であることから、解を効率的に計算可能である。