[論文レビュー] The splitting lemmas for nonsmooth functionals on Hilbert spaces I

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間上の連続的に方向微分可能で、特異点の近傍で稠密に埋め込まれたバナッハ空間上でより滑らか（$C^2$未満）な関数泛に適用可能な分割補題およびずらし定理を確立する。主な貢献は、モース＝パライスのアイデアと関数解析的技法を組み合わせることで、高階楕円型偏微分方程式やラグランジュ系を含む、より広いクラスの変分問題へ既存の結果を拡張する一般化された分割定理の確立である。

ABSTRACT

The Gromoll-Meyer's generalized Morse lemma (so called splitting lemma) near degenerate critical points on Hilbert spaces, which is one of key results in infinite dimensional Morse theory, is usually stated for at least $C^2$-smooth functionals. It obstructs one using Morse theory to study most of variational problems of form $F(u)=\int_Ωf(x, u,..., D^mu)dx$ as in ( ef{e:1.1}). In this paper we establish a splitting theorem and a shifting theorem for a class of continuously directional differentiable functionals (lower than $C^1$) on a Hilbert space $H$ which have higher smoothness (but lower than $C^2$) on a densely and continuously imbedded Banach space $X\subset H$ near a critical point lying in $X$. (This splitting theorem generalize almost all previous ones to my knowledge). Moreover, a new theorem of Poincaré-Hopf type and a relation between critical groups of the functional on $H$ and $X$ are given. Different from the usual implicit function theorem method and dynamical system one our proof is to combine the ideas of the Morse-Palais lemma due to Duc-Hung-Khai \cite{DHK} with some techniques from \cite{JM, Skr, Va1}. Our theory is applicable to the Lagrangian systems on compact manifolds and boundary value problems for a large class of nonlinear higher order elliptic equations.

研究の動機と目的

• $C^2$ ではないが連続的に方向微分可能で、稠密なバナッハ部分空間 $X \subset H$ でより滑らかである関数泛へ、グロモル＝マイヤーの分割補題を拡張すること。
• 作用汎関数が通常 $C^{1}$ または $C^{2-0}$ 滑らかであるがために、高階楕円型偏微分方程式やラグランジュ系を含む変分問題へのモース理論の適用を可能にすること。
• ヒルバート空間上の臨界群とバナッハ部分空間上の臨界群との関係を確立し、このような関数泛に対してピオンカーレ＝ホフ型定理を証明すること。
• 古典的陰関数定理や力学系の手法に起因する制限を、[27, 43, 46] の結果と組み合わせた、モース＝パライス補題技法の新規な組み合わせによって克服すること。

提案手法

• ドゥク＝フン＝カイ [19] が提案したモース＝パライス補題の枠組みを、稠密なバナッハ部分空間 $X \subset H$ でより高い正則性を示す $C^1$-滑らか関数泛に適応する。
• 付録Aに記載のパラメータ依存版モース＝パライス補題を用いて、退化した臨界点の近傍における局所正規形を構成する。
• 自己共役作用素のコンパクト摂動論（命題B.2）を用いて、臨界点におけるヘッセ型作用素のスペクトル性質を分析する。
• 導関数の厳密なゲートー微分可能性を保証するため、ハーン＝バナッハの定理および平均値の定理を証明に用いる。
• バナッハ空間設定における逆関数定理を用いて、臨界点近傍で関数泛を二次部分と剰余項に分割する微分同相写像を構成する。
• 埋め込み下でも臨界群などの位相的不変量を保つように、分割補題のファンクター性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的分割補題（グロモル＝マイヤー）は、ヒルバート空間上で $C^2$ ではないが連続的に方向微分可能な関数泛へ拡張可能か？
• RQ2 高階楕円型偏微分方程式の文脈において、$C^{1}$ だが $C^2$ でない関数泛の臨界群はどのように計算可能か？
• RQ3 ヒルバート空間 $H$ 上の関数泛の臨界群と、稠密なバナッハ部分空間 $X$ 上への制限の臨界群との関係は何か？
• RQ4 限られた微分可能性を持つ非滑らか関数泛に対して、ピオンカーレ＝ホフ型定理を確立できるか？
• RQ5 関数泛がバナッハ空間上で $C^1$ で、稠密部分空間上で $C^2$ であるとき、その導関数が厳密なゲートー微分可能であるための条件は何か？

主な発見

• ヒルバート空間上の連続的に方向微分可能な関数泛に対して、稠密なバナッハ部分空間 $X \subset H$ において臨界点の近傍で $C^2$-滑らかである場合に、新たな分割定理が確立された。
• 分割によって誘導されるホメオモルフィズムを通じて、$H$ 上の関数泛と $X$ 上の関数泛の臨界群が関係づけられ、位相的不変量が保存された。
• ピオンカーレ＝ホフ型定理が証明され、新しい正則性枠組み下で、臨界点のインデックスの総和がレベル集合のオイラー特徴標数に等しいことが示された。
• ずらし定理が確立され、ヘッセ型作用素の核の寄与を臨界点近傍で関数泛を変形することで除去可能となった。
• 関数泛が $H$ 上で連続的に方向微分可能で、$X$ 上で $C^2$ であるならば、その導関数は臨界点で厳密なゲートー微分可能であることが示された。
• 第二導関数作用素のスペクトル性質は、コンパクト摂動論により分析され、$(-\infty, C_0)$ 内の孤立したスペクトル点が有限多重度の固有値であることが示された。