[論文レビュー] The sporadic group J2, Hauptmodul and Belyi map

H. Monien|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ドメイン分割、高速フーリエ変換、およびクリロフ部分空間法を用いた数値的に安定した反復的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、PSL₂(ℤ) の非合同部分群のモジュラー関数、特に hauptmodul および Belyï 写像を計算することを目的としている。主な貢献は、Janko 群 J₂ に関連する genus zero の部分群に対して、Belyï 写像を明示的に構成したことである。その定義体は ℚ(α)/(α¹⁰ − α⁹ − 2α⁸ + 8α⁷ − 14α⁶ + 35α⁴ − 68α³ + 89α² − 74α + 23) であり、Galois 群は S₂≀S₅、判別式は 3⁶5³7⁸ である。

ABSTRACT

Determining Fourier coefficients of modular forms of a finite index noncongruence subgroups of the modular group is still a non-trivial task. In this brief note we describe a new algorithm to reliably calculate an approximation for a modular form of a given weight. As an example we calculate the hauptmodul and Belyi map of a genus zero subgroup of the modular group defined via a canonical homomorphism by the second Janko group. Our main result is the field of definition of its Belyi map, the explicit Belyi map and the Fourier coefficients of its hauptmodul.

研究の動機と目的

• PSL₂(ℤ) の有限指数非合同部分群のモジュラー関数、特に hauptmodul および Belyï 写像を計算する数値的に安定かつ効率的なアルゴリズムの開発。
• 非合同部分群のモジュラー形式のフーリエ係数を求める計算上の課題に取り組む。既存の手法が存在するが、依然として非自明な課題のままである。
• スパースなJanko群J₂に関連するgenus zeroの非合同部分群に対して、hauptmodulおよびBelyï写像を計算することで、アルゴリズムの有効性を実証する。
• この部分群に関連するBelyï写像の定義体およびGalois群を同定し、逆Galois問題およびモノドロミー群の研究に貢献する。

提案手法

• 部分群の基本領域を重なりをもつ部分領域に分割し、それぞれの部分領域にカスプを関連付けることで、周期的境界条件を伴うラプラス方程式の解法を単純化する。
• 2のべき乗のサンプリングを用いた高速フーリエ変換（FFT）を活用し、各部分領域におけるモジュラー関数近似のフーリエ係数を効率的に計算する。
• クリロフ部分空間法、特にGMRESを用いて、フーリエ係数の線形方程式系を反復的に解き、2次収束を達成する。
• ピカール反復をベースラインとし、FFTによる前処理を施して収束を加速させ、任意精度算術においても安定性を確保する。
• PSL₂(ℤ) の生成子がコセットに作用する様子を用いて、部分群構造を記述する置換三つ組 (σ₀, σ₁, σ∞) を定義し、アルゴリズムによるドメインラベル付けを可能にする。
• 数体 K に係数をもつ多項式を用いて、有理関数 Φ(z) = p₃(z)/p_c(z) = 1728 + p₂(z)/p_c(z) の形で Belyï 写像を構成する。K は指定されたGalois群と判別式を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL₂(ℤ) の有限指数非合同部分群のモジュラー関数、特に hauptmodul および Belyï 写像を計算する数値的に安定かつ効率的なアルゴリズムを開発することは可能か？
• RQ2 Janko 群 J₂ に関連する genus zero の非合同部分群と関連する Belyï 写像の定義体およびGalois群は何か？
• RQ3 ドメイン分割とスペクトル法（FFT およびクリロフソルバー）を組み合わせることで、高精度な境界値問題としてのモジュラー関数の解法は可能か？
• RQ4 複雑なモノドロミー構造と非自明な分岐構造を持つ非合同部分群に対して、アルゴリズムはhauptmodulのフーリエ係数を信頼性高く計算できるか？
• RQ5 J₂関連部分群のBelyï写像について、正確な多項式因数分解および関数的関係（Φ(z) = 1728 + p₂(z)/p_c(z)）は何か？

主な発見

• GMRESを用いることで2次収束を達成し、単純なピカール反復よりも著しく性能が向上し、任意精度算術においても安定である。
• J₂関連部分群のBelyï写像は有理関数であり、Φ(z) = 1728 + p₂(z)/p_c(z) を満たし、2階および3階の楕円的点における分岐を明示的に関連づけている。
• Belyï写像の定義体は K = ℚ(α)/(α¹⁰ − α⁹ − 2α⁸ + 8α⁷ − 14α⁶ + 35α⁴ − 68α³ + 89α² − 74α + 23) であり、判別式は 3⁶5³7⁸ である。
• 数体 K のℚ上でのGalois群は S₂≀S₅ であり、位数3840であり、写像の算術的複雑性を裏付ける。
• J₂ に関連する部分群 Γ ⊂ PSL₂(ℤ) は、指数100、genus zero、幅1のカスプが2個、幅7のカスプが14個、3階の楕円的点が4個である非合同部分群である。
• 反復的アルゴリズムによりhauptmodulのフーリエ係数を高精度に計算し、Belyï写像の明示的構成とその関数的形の検証が可能になった。