[論文レビュー] The stable and the real rank of Z-absorbing C*-algebras

Mikael Rørdam|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 97

ひとこと要約

この論文は、ジュンガ＝スク algebra Z とそのテンソル積が同型である C*-代数（Z-吸収的 C*-代数）の基礎的構造的性質を確立する。Z-吸収的 C*-代数の Cuntz 細分はほとんど未穿孔的であることを証明し、単純で単位的で Z-吸収的な C*-代数に対しては、安定的スカラーが 1 であることと有限性が同値であり、実数スカラーが 0 であることの特徴づけは K₀ の弱可除性とトレースの射影による分離性によって与えられることを示している。

ABSTRACT

Suppose that A is a C*-algebra for which A is isomorphic to A tensor Z, where Z is the Jiang-Su algebra: a unital, simple, stably finite, separable, nuclear, infinite dimensional C*-algebra with the same Elliott invariant as the complex numbers. We show that: (i) The Cuntz semigroup W(A) of equivalence classes of positive elements in matrix algebras over A is weakly unperforated. (ii) If A is exact, then A is purely infinite if and only if A is traceless. (iii) If A is separable and nuclear, then A is isomorphic to A tensor O_infty if and only if A is traceless. (iv) If A is simple and unital, then the stable rank of A is one if and only if A is finite. We also characterise when A is of real rank zero.

研究の動機と目的

• ジュンガ＝スク代数 Z を吸収する C*-代数の安定的および実数スカラーを特徴づけること。
• Z-吸収が K-理論、トレース、Cuntz 細分に与える構造的影響を明確にすること。
• Z-吸収的 C*-代数が安定的スカラー 1 または実数スカラー 0 をもつための条件を特定すること。
• K₀ 群の構造とトレースの分離性に基づく、実数スカラー 0 の内在的条件を提供すること。

提案手法

• A における行列代数上の正の元の Cuntz 細分 W(A) を分析し、それがほとんど未穿孔的であることを示す。
• A ≅ A ⊗ Z であることから、V(A) および K₀(A) の性質、特に弱未穿孔性を導出する。
• [22] および [3] の結果を適用し、Aff(T(A)) における ρ(K₀(A)) の一様密度が実数スカラー 0 に等しいことを関連付ける。
• ρ: K₀(A) → Aff(T(A)) で定義される自然な写像 ρ(g)(τ) = K₀(τ)(g) を用いて、K₀ とトレースを結びつける。
• 定理 6.7 の安定的スカラー 1 の結果を用い、σₙ を通じた近似リフトと A 内の可逆性に依存する。
• 正確性とほとんど未穿孔性の下で、実数スカラー 0 と ρ(K₀(A)) の Aff(T(A)) における一様密度の同値性を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-吸収的 C*-代数が安定的スカラー 1 をもつのはいつか？
• RQ2 K₀ とトレースにどのような条件が、Z-吸収的 C*-代数における実数スカラー 0 を特徴づけるか？
• RQ3 Z-吸収が Cuntz 細分およびその未穿孔性に与える影響は何か？
• RQ4 Z-吸収的 C*-代数がトレースを射影で分離するための条件は何か？
• RQ5 単純で単位的で Z-吸収的な C*-代数において、安定的スカラー 1 と有限性は同値か？

主な発見

• Z-吸収的 C*-代数 A の Cuntz 細分 W(A) はほとんど未穿孔的である。
• 単純で単位的で正確で有限で Z-吸収的な C*-代数 A に対して、安定的スカラーが 1 であることと A が有限であることとは同値である。
• 単純で単位的で正確で有限で Z-吸収的な C*-代数が実数スカラー 0 をもつのは、ρ(K₀(A)) が Aff(T(A)) に一様に稠密であるときである。
• このような代数において、実数スカラー 0 は K₀(A) が弱可除的であることと射影によるトレースの分離性と同値である。
• 一意なトレースが存在する場合、実数スカラー 0 は K₀(τ)(K₀(A)) が ℝ に稠密であることと同値である。
• ジュンガ＝スク代数 Z 自身は、実数スカラー 0 のための逆の条件（トレースの分離）が成り立たない反例である。