[論文レビュー] The stable Bernstein center and test functions for Shimura varieties

Thomas J. Haines|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$p$-進群における安定バーナイン中心の理論を構築し、$p$ における任意のレベル構造を持つシムーラ多様体におけるラングランズ・コットヴィッツ法におけるテスト関数について一般化された予想を提示する。ラングランズ双対表現に関連する安定バーナイン中心内の分布を通じて、テスト関数の明確な構成を与え、コットヴィッツの予想をパラホリックおよびより深いレベル構造へ一般化し、ハッセ＝ヴェイユのゼータ関数を$L$-関数で表すために不可欠な転送予想との整合性を確立する。

ABSTRACT

We elaborate the theory of the stable Bernstein center of a $p$-adic group $G$, and apply it to state a general conjecture on test functions for Shimura varieties due to the author and R. Kottwitz. This conjecture provides a framework by which one might pursue the Langlands-Kottwitz method in a very general situation: not necessarily PEL Shimura varieties with arbitrary level structure at $p$. We give a concrete reinterpretation of the test function conjecture in the context of parahoric level structure. We also use the stable Bernstein center to formulate some of the transfer conjectures (the "fundamental lemmas") that would be needed if one attempts to use the test function conjecture to express the local Hasse-Weil zeta function of a Shimura variety in terms of automorphic $L$-functions.

研究の動機と目的

• $p$ における任意のレベル構造（古典的な PEL やハイパースペシャルの場合に限らない）を持つシムーラ多様体へ、ラングランズ・コットヴィッツ法を拡張すること。
• シムーラ多様体のコホモロジーをトレース公式のアプローチで扱う際のテスト関数に関する一般化された予想を提示すること。
• テスト関数の構成のための枠組みとして、安定バーナイン中心の定義と理論的発展を行うこと。
• ラングランズ双対群の表現を通じて、安定バーナイン中心内の分布によってテスト関数を関連付けること。
• ハッセ＝ヴェイユのゼータ関数を自動形式$L$-関数で表すために必要な、転送予想（基本補題）との整合性を確立すること。

提案手法

• アドミッサブルな準同型 $\lambda: W_F \to {}^L G$ の $\widehat{G}$-共役類の集合上の代数的多様体としての安定バーナイン中心 $\mathfrak{Z}^{\rm st}(G/F)$ を、ヴォーガンのアプローチを一般化して導入する。
• テスト関数 $\phi_r$ を、$Z_V$ をラングランズ双対群 ${}^L G$ の表現 $V$ に関連する安定バーナイン中心内の分布とするとき、$p^{rd/2}(Z_V * 1_{K_{p^r}})$ としての畳み込みとして構成する。
• パラホリックレベル構造の場合に予想を特殊化し、$G$ が非分岐で $K_p$ がパラホリックである場合に、コットヴィッツの予想が特殊ケースとして回復されることを示す。
• バーナイン同型を用いて、ヘッケ代数 $\mathcal{Z}(G(\mathbb{Q}_{p^r}), K_{p^r})$ の中心を表現 $V^{E_{j0}}_{-\mu,j}$ を通じて安定バーナイン中心に関連付ける。
• 定数項写像と可換で、選択に依存しない正規化された転送準同型 $\tilde{t}: \mathcal{Z}(G^*(F), J^*) \to \mathcal{Z}(G(F), J)$ を定義する。
• 転送準同型がコットヴィッツ準同型 $\kappa_{G^*}(F)$ のファイバー上の積分と整合することを確立し、$\tilde{t}(z)$ の明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてラングランズ・コットヴィッツ法を、PEL やハイパースペシャルの場合に限らない、$p$ における任意のレベル構造を持つシムーラ多様体へ一般化できるか？
• RQ2 このようなシムーラ多様体のトレース公式におけるテスト関数 $\phi_r$ の明確な形は何か？ そしてラングランズ双対群とはどのように関連するか？
• RQ3 安定バーナイン中心は、局所ラングランズ対応および転送予想と整合するテスト関数の構成にどのように利用できるか？
• RQ4 バーナイン同型は、ラングランズ双対群の表現と安定バーナイン中心内の分布をどのように関連付けるか？
• RQ5 ヘッケ代数間の転送準同型は、どのようにして一意的かつ定数項写像およびコットヴィッツ準同型と整合する形で定義できるか？

主な発見

• テスト関数予想（定理 6.1.1）により、$\phi_r = p^{rd/2}(Z_{V^{E_{j0}}_{-\mu,j}} * 1_{K_{p^r}})$ という一般式が得られ、ここで $Z_V$ は ${}^L G$ の表現 $V$ に関連する安定バーナイン中心内の分布である。
• この予想は、非分岐群で $K_p$ がパラホリックの場合にコットヴィッツの予想に特殊化され、既知のテスト関数がバーナイン関数 $z^{K_p}_{-\mu,j}$ のべきとして回復される。
• ドリンフェルトの場合のシムーラ多様体で $\Gamma_1(p)$-レベル構造を持つ場合（ヘインズ＝ラポポートによる）、およびモジュラー曲線およびドリンフェルトの場合で任意のレベル構造を持つ場合（ショールツェによる）に、この予想は証明済みである。
• 安定バーナイン中心は、$\widehat{G}$-共役類のアドミッサブルな準同型 $\lambda: W_F \to {}^L G$ の集合上の代数的多様体としての正則関数の環として定義され、テスト関数の幾何的枠組みを提供する。
• 定数項写像と可換で、選択に依存しない正規化された転送準同型 $\tilde{t}$ が構成され、$\kappa_{G^*}(F)$-ファイバー上の積分を通じて明示的計算が可能になる。
• 転送準同型 $\tilde{t}$ はバーナイン同型と整合し、テスト関数 $\tilde{t}(z)$ が適切に定義され、一意的であることを保証する。これは、以前の定式化における欠陥を是正する。