[論文レビュー] The Standard Model as an extension of the noncommutative algebra of forms

Christian Brouder, Nadir Bizi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、非可換微分形式の微分 graded 代数を拡張することで、標準模型を非可換幾何学の枠組みで再定式化し、拡張された代数の結合則が、0次、1次、および質量ゼロの光子の公理を保証する。主な貢献は、ローレンツ時空および完全な多様体構造との不整合を解消する微分 graded bimodule の構成であり、公理を統一し、将来の量子化に向けた一貫性のある幾何学的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The Standard Model of particle physics can be deduced from a small number of axioms within Connes' noncommutative geometry (NCG). Boyle and Farnsworth [New J. Phys. 16 (2014) 123027] proposed to interpret Connes' approach as an algebra extension in the sense of Eilenberg. By doing so, they could deduce three axioms of the NCG Standard Model (i.e. order zero, order one and massless photon) from the single requirement that the extended algebra be associative. However, their approach was only applied to the finite algebra and fails the full model. By taking into account the differential graded structure of the algebra of noncommutative differential forms, we obtain a formulation where the same three axioms are deduced from the associativity of the extended differential graded algebra, but which is now also compatible with the full Standard Model. Finally, we present a Lorentzian version of the noncommutative geometry of the Standard Model and we show that the three axioms still hold if the four-dimensional manifold has a Lorentzian metric.

研究の動機と目的

• ボイルとファーンズワースの代数拡張手法が完全なローレンツ時空標準模型と整合しない問題を解消すること。
• 非可換微分形式 (Ω_D) の微分 graded 構造を、Ω_D 上の微分 graded bimodule を構成することで統合すること。
• 2次条件（質量ゼロの光子および他の公理を含む）が、有限部だけでなく、完全なローレンツスペクトル三重対に対しても成り立つことを示すこと。
• すべての物理的公理を満たす、標準模型の非可換幾何学のローレンツ版を確立すること。
• バタリン＝ヴィルコビッチおよびBRST手法に不可欠な微分 graded 構造を保持することで、将来の量子化および正則化のための基盤を提供すること。

提案手法

• 非可換形式の微分 graded 代数 Ω_D を表現空間 M_D で拡張し、新たな微分 graded 代数 E を構成する。
• E の微分および次数構造との整合性を保つために、M_D を Ω_D 上の微分 graded bimodule として構成する。
• 拡張された代数 E における結合則を課すことにより、0次、1次、および質量ゼロの光子公理に相当する制約を導出する。
• ボイルとファーンズワースの交換子条件 [π(δa), π(δb)°] = 0 を、junk 理想を考慮した反交換子条件 {π(δa), π(δb)°} ∈ K に置き換える。この条件は、完全なモデルでも満たされる。
• ローレンツ多様体三重対と有限スペクトル三重対をテンソル積で結合し、実形式で偶数次元のローレンツスペクトル三重対を構成する。KO次元および基本的対称性を保持する。
• すべての公理—0次、1次、2次条件—がローレンツ的設定でも成り立つことを検証し、正しいフェルミオンラグランジアンおよび電荷共役構造を備える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学における標準模型の公理（0次、1次、質量ゼロの光子）が、微分 graded 代数拡張における単一の結合則から導かれるか。
• RQ2 非可換形式 Ω_D の微分 graded 構造が、時空の完全なローレンツ幾何学を保つ一貫性のある拡張を可能にするか。
• RQ3 従来、有限代数でのみ成り立っていた2次条件が、多様体部を含む完全なスペクトル三重対へ一般化可能か。
• RQ4 すべての物理的公理を満たし、正しいフェルミオン構造を保持する、標準模型の非可換幾何学のローレンツ形式が存在するか。
• RQ5 Ω_D にjunk 理想が含まれることにより、代数的制約およびゲージ場・曲率形式の物理的整合性にどのような影響を与えるか。

主な発見

• 拡張された微分 graded 代数 E の結合則から、0次、1次、および質量ゼロの光子公理が導かれ、これらが単一の代数的条件に統一される。
• M_D を Ω_D 上の微分 graded bimodule として構成することで、微分および次数構造との整合性が保たれ、元のボイルとファーンズワースの手法が多様体部で失敗していた問題が解消される。
• 2次条件が反交換子条件 {π(δa), π(δb)°} ∈ K に修正され、これは完全なローレンツ標準模型で成り立つが、有限代数でのみ成り立っていた従来の形式とは異なる。
• 標準模型のローレンツスペクトル三重対は、すべての公理—0次、1次、2次条件—を満たし、正しいフェルミオンラグランジアンおよび電荷共役構造を備える。
• 微分 graded 構造が保持されているため、Batalin-VilkoviskyおよびBRST形式的と整合し、将来の量子化が可能になる。
• 有限部と多様体部が単一の代数的原理によって統一され、恣意的な公理が排除され、物理的整合性が向上する。