[論文レビュー] The stationary distribution of a Wright-Fisher diffusion model with general small mutation rates

Conrad J. Burden, Robert Griffiths|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、一般の小さな突然変異率を伴う Wright-Fisher拡散モデルの定常分布を、共祖的アプローチを用いて導出している。突然変異率の1次までの近似において、共祖木内で高々1つの突然変異が発生する場合に有効であることを示している。この手法により、再結合率がλである純粋増殖過程を含む、交換可能な2進共祖木におけるアレル構成の明示的解が得られる。

ABSTRACT

The stationary distribution of a sample taken from a Wright-Fisher diffusion with general small mutation rates is found using a coalescent approach. The approximation is equivalent to having at most one mutation in the coalescent tree to the first order in the rates. The approach is different from Burden and Tang [1, 2] who use a probability flux argument to obtain the same results from a forward diffusion generator equation. The solution has interest because the solution is not known when rates are not small. An analogous solution is found for the configuration of alleles in a general exchangeable binary coalescent tree. In particular an explicit solution is found for a pure birth process tree when individuals reproduce at rate {\lambda}.

研究の動機と目的

• 一般の小さな突然変異率下でのWright-Fisher拡散モデルの定常分布を特定すること。
• 確率フラックスに基づく既存の手法とは異なり、共祖フレームワークを用いた代替的導出を提供すること。
• 一般の交換可能な2進共祖木にまで解を拡張し、純粋増殖過程の構成に対する明示的解を導出すること。
• 突然変異率が小さくない場合に既知の解が得られないというギャップを埋めること。

提案手法

• 系統の合体と突然変異イベントを祖先過程としてモデル化するために、共祖的アプローチが用いられている。
• 突然変異率が小さいと仮定しており、共祖木内で高々1つの突然変異が発生する1次近似が成り立つ。
• 定常分布は、共祖木内の系統間のアレル構成を考慮することで導出されている。
• この手法は、再結合率λの純粋増殖過程を含む、交換可能な2進共祖木に適用されている。
• 前方拡散生成子からの既知の結果と整合性があるが、異なるメカニズムで導出されている。
• 先行研究で用いられる確率フラックスの議論を回避しており、定常分布について新たな視点を提供している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 突然変異率が小さくても一般である場合、Wright-Fisher拡散モデルの定常分布は何か？
• RQ2 共祖的アプローチは、確率フラックス法と比較して定常分布を導出する際にどのように異なるか？
• RQ3 一般の交換可能な2進共祖木におけるアレル構成に対して明示的解を得ることは可能か？
• RQ4 再結合率λの純粋増殖過程において、このフレームワーク下での定常分布は何か？
• RQ5 突然変異率が小さくない場合、なぜ解が得られていないのか、そして本研究がそのギャップをどのように埋めているか？

主な発見

• 共祖的アプローチを用いて、小さな突然変異率の1次近似において定常分布が導出された。
• 共祖木内で高々1つの突然変異が発生すると仮定することで、解析が簡略化された。
• 一般の交換可能な2進共祖木におけるアレル構成に対して明示的解が得られた。
• 再結合率λの純粋増殖過程に対して、定常分布の閉形式解が得られた。
• 前方拡散生成子の手法とは独立した新しい導出を提供しており、補足的な洞察をもたらしている。
• 突然変異率が小さくない場合に既存の解が限界に達することを強調しており、本研究の新規性を浮き彫りにしている。