[論文レビュー] The stochastic heat equation with multiplicative L\'evy noise: Existence, moments, and intermittency

Quentin Berger, Carsten Chong+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 88被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の次元 d ≥ 1 において、正のジャンプを有する乗法的 Lévy ノイズを伴う確率的熱方程式の解の存在および一意性を、最良またはほぼ最良の条件下で確立する。ノイズの p 階モーメントが有限である限り、すべての p > 0 に対して有限 p 階モーメントを示し、β → 0 の極限におけるモーメントのリャプノフ指数の鋭い漸近的評価を導出する。主な貢献は、任意の非自明な Lévy ノイズと任意の β > 0 に対して、すべての次元で強い間欠性（強間欠性）が厳密に示されたことである。これは、すべての p > 1 に対するモーメントの間欠性およびパスワイズ質量集中を示唆する。

ABSTRACT

We study the stochastic heat equation (SHE) $\partial_t u = \frac12 \Delta u + \beta u \xi$ driven by a multiplicative L\'evy noise $\xi$ with positive jumps and amplitude $\beta>0$, in arbitrary dimension $d\geq 1$. We prove the existence of solutions under an optimal condition if $d=1,2$ and a close-to-optimal condition if $d\geq3$. Under an assumption that is general enough to include stable noises, we further prove that the solution is unique. By establishing tight moment bounds on the multiple L\'evy integrals arising in the chaos decomposition of $u$, we further show that the solution has finite $p$th moments for $p>0$ whenever the noise does. Finally, for any $p>0$, we derive upper and lower bounds on the moment Lyapunov exponents of order $p$ of the solution, which are asymptotically sharp in the limit as $\beta o0$. One of our most striking findings is that the solution to the SHE exhibits a property called strong intermittency (which implies moment intermittency of all orders $p>1$ and pathwise mass concentration of the solution), for any non-trivial L\'evy measure, at any disorder intensity $\beta>0$, in any dimension $d\geq1$.

研究の動機と目的

• 任意の次元 d ≥ 1 において、正のジャンプを有する乗法的 Lévy ノイズによって駆動される確率的熱方程式（SHE）の解の存在および一意性を確立すること。
• 解のタイトなモーメントバインディングを導出し、Lévy ノイズの p 階モーメントが有限である限り、すべての p > 0 に対して解の p 階モーメントが有限であることを示すこと。
• 不規則性の強さ β → 0 の極限における p 階モーメントのリャプノフ指数の漸近的挙動を特定し、漸近的に鋭い上界および下界を提供すること。
• 任意の非自明な Lévy メジャーおよび任意の β > 0 に対して、解が強い間欠性を示すこと——これは、すべての p > 1 に対するモーメントの間欠性およびパスワイズ質量集中を意味する——を証明すること。
• ガウス型ノイズに限らず、一般の Lévy ノイズ（安定ノイズを含む）に対しても、Lévy メジャーの一般の可積分性条件の下で解析を拡張すること。

提案手法

• 空間時間にわたるポアソン確率測度として Lévy ノイズを構成し、強度測度を dt ⊗ dx ⊗ λ(dz) とし、λ は ∫_{(0,1)} z² λ(dz) < ∞ および λ([1, ∞)) < ∞ を満たすものとする。
• 解 u(t,x) の chaos 展開と多重 Itô 積分を用いて表現し、Lévy ノイズに関する反復確率積分に分解する。
• 多重 Lévy 積分のデカップリング不等式およびモーメント推定に、弱い接線的マルティンゲール技法と BDG 型不等式を組み合わせて、モーメントを制御する。
• N 個の独立なポアソン過程の積確率空間を用いたカップリング論法により、確率積分に関する重要な不等式を繰り返し適用してモーメントバインディングを導出する。
• 小さな β の展開を用いて、t → ∞ のときの E[u(t,x)^p] の成長率を分析し、モーメントのリャプノフ指数の鋭い漸近的バインディングを導出する。
• 一般の Lévy メジャーに関する条件下で、すべての p' > p > 1 に対して、E[u(t,x)^{p'}]/E[u(t,x)^p] が時間 t に関して指数関数的に増加することを証明することで、強い間欠性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy メジャー λ に対してどのような条件下で、任意の次元 d ≥ 1 における乗法的 Lévy ノイズを伴う確率的熱方程式に解が存在するか？
• RQ2 解の p 階モーメントがすべての p > 0 に対して有限であるための、λ に関する正確な条件は何か？
• RQ3 不規則性の強さ β → 0 の極限において、p 階モーメントのリャプノフ指数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 任意の非自明な Lévy ノイズと任意の β > 0 に対して、解は強い間欠性（モーメント比の指数的増加およびパスワイズ質量集中を伴う）を示すか？
• RQ5 すべての次元 d ≥ 1 において、解の存在および一意性が最適またはほぼ最適な条件下で確立可能か？

主な発見

• d = 1, 2 のとき最適な条件下、d ≥ 3 のときほぼ最適な条件下で、乗法的 Lévy ノイズを伴う確率的熱方程式の解が存在する。
• Lévy ノイズの p 階モーメントが有限である限り、一般の可積分性条件の下で、解のすべての p > 0 に対する p 階モーメントが有限である。
• 任意の p > 0 に対して、p 階モーメントのリャプノフ指数は、β → 0 の極限において漸近的に鋭い上界および下界を有する。
• 任意の非自明な Lévy メジャーおよび任意の β > 0 に対して、すべての次元 d ≥ 1 で解が強い間欠性を示す。これは、すべての p' > p > 1 に対して、E[u(t,x)^{p'}]/E[u(t,x)^p] が時間 t に関して指数関数的に増加することを意味する。
• 解のパスワイズ質量集中は、時間とともに指数関数的に減少するサイズの空間時間点の集合上で発生し、間欠性の物理的現象を裏付ける。
• 結果は、安定ノイズを含む広範な Lévy ノイズのクラスに適用可能であり、従来のガウス型ノイズに限定された結果や、より強い可積分性仮定を要する結果を拡張する。