[論文レビュー] The Stochastic-Quantum Theorem

Jacob A. Barandes|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用数 9

ひとこと要約

この論文は一般化された確率的システムを導入し、任意のこのような系とユニタリ進化する量子系との対応を確立する定理を証明し、量子理論の新しい定式化と確率過程の量子シミュレーションへの示唆を生み出す。

ABSTRACT

This paper introduces several new classes of mathematical structures that have close connections with physics and with the theory of dynamical systems. The most general of these structures, called indivisible stochastic processes, collectively encompass many important kinds of stochastic processes, including Markov chains and random dynamical systems. This paper then states and proves a new theorem that establishes a precise correspondence between any indivisible stochastic process and a unitarily evolving quantum system. This theorem therefore leads to a new formulation of quantum theory, alongside the Hilbert-space, path-integral, and quasi-probability formulations. The theorem also provides a first-principles explanation for why quantum systems are based on the complex numbers, Hilbert spaces, linear-unitary time evolution, and the Born rule. In addition, the theorem suggests that by selecting a suitable Hilbert space, together with an appropriate choice of unitary evolution, one can simulate any indivisible stochastic process on a quantum computer, thereby potentially opening up an extensive set of novel applications for quantum computing.

研究の動機と目的

• 標準的な力学系を超えた物理過程のモデリングのために、より柔軟な数学的構造が必要であることを動機づける。
• マルコフ連鎖とランダム力学系を包含する一般化された確率的システムを導入する。
• 一般化された確率的システムとユニタリに進化する量子系を結ぶ定理を述べ、証明する。
• 量子理論がなぜ複素ヒルベルト空間、線形-ユニタリ時間発展、Born ルールを採用するのかを第一原理から説明する。
• 広範なクラスの確率過程のシミュレーションを通じて、量子計算への潜在的応用を示唆する。

提案手法

• 一般化された確率的システムを構成要素 (C, T, Γ, p, A) の組として定義し、構成空間、確率的写像、確率分布、確率変数の代数を定義する。
• 時間発展を確率的写像 Γ(t) によって表し、ベイズ的周辺化 p(t) = Γ(t) p(0) を用いる。
• 線形代数的構造（遷移行列、確率ベクトル）を導入して確率動力学を形式化する。
• 確率的システムとユニタリに進化する量子系との対応を明示的に構築して、確率的-量子定理を証明する。
• 簡単な例を用いて構築を実証するコルollaryを議論する。
• ヒルベルト空間、経路積分、準確率表現とは異なる新しい量子-formulation 言語を生み出す枠組みを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された確率的システムを正確にユニタリに進化する量子系へ写像できるか？
• RQ2 確率系が量子ダイナミクスに対応する条件は何か、そしてこの写像からどのような量子理論の特性（複素数、線形性、Born ルール）が現れるのか？
• RQ3 確率的-量子対応は既存の形式論を超える新しい量子理論の定式化を提供するのか？
• RQ4 ユニタリ進化はクラスの広い非マルコフ過程を量子コンピュータ上で効率的にシミュレートできるのか？

主な発見

• 一般化された確率的システムとユニタリに進化する量子系との正確な対応を確立した。
• 量子理論がなぜ複素ヒルベルト空間、線形-ユニタリ時間発展、Born ルールを採用するのかを第一原理から説明した。
• ヒルベルト空間、経路積分、準確率アプローチとは異なる新しい確率的-量子定式化を提示した。
• 適切なヒルベルト空間とユニタリ動力学を選ぶことで、量子系は広範な一般化された確率的システムをシミュレートできることを示した。
• 量子ハードウェアを用いた非マルコフ過程のシミュレーションを実現するなど、量子計算への実用的な示唆を概説した。