[論文レビュー] The strict Arnold chord property for nicely embeddable regular contact forms

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、接触多様体内のレジェンドリアン部分多様体に対して、すべてのリーブ軌道が閉じており、同じ周期を持つ条件下で、接触形式が R^{2n} と正確なシンプレクティック多様体の積にうまく埋め込める場合、厳密なアーノルド・コード性質を確立する。主な結果は、このようなレジェンドリアン部分多様体が、ある特徴的曲線と少なくとも2回交わることを示し、複素射影空間内の正則な閉じたコイズォトロピック部分多様体の最小作用に π/2 の鋭い上界を与える。これにより、プレシンプレクティックおよびラグラジアン埋め込みに対する新たな障害が得られる。

ABSTRACT

Let $\alpha$ be a contact form on a manifold $M$, and $L\subseteq M$ a closed Legendrian submanifold. I prove that $L$ intersects some characteristic for $\alpha$ at least twice if all characteristics are closed and of the same period, and $\alpha$ embeds nicely into the product of $\mathbb{R}^{2n}$ and an exact symplectic manifold. As an application of the method of proof, the minimal action of a regular closed coisotropic submanifold of complex projective space is at most $\pi/2$. This yields an obstruction to presymplectic embeddings, and in particular to Lagrangian embeddings.

研究の動機と目的

• 接触形式の動的および幾何的条件のもとで、レジェンドリアン部分多様体に対して厳密なアーノルド・コード性質を確立すること。
• 主定理の結果として、複素射影空間内の正則な閉じたコイズォトロピック部分多様体の最小作用を調査すること。
• 作用上界を用いて、プレシンプレクティックおよび特にラグラジアン埋め込みに対する新たな障害を導出すること。

提案手法

• すべてのリーブ特徴が閉じており、同じ周期を持つという仮定を用いて、接触形式の力学的挙動を制約する。
• 接触形式が R^{2n} と正確なシンプレクティック多様体の積に埋め込めるという「よい埋め込み条件」を適用し、幾何的複雑性を制御する。
• 特にリーブ力学とレジェンドリアン交差性質の間の関係に注目した、シンプレクティックおよび接触位相幾何学の手法を用いる。
• 複素射影空間の構造とそのシンプレクティック形式を活用して、コイズォトロピック部分多様体とその作用を分析する。
• 得られた作用上界を用いて、シンプレクティック不変量を介して埋め込みに対する位相的障害を導出する。
• 特徴的曲線と接触形式の理論を応用し、与えられた条件下で、レジェンドリアン部分多様体が必ずある特徴的曲線と2回以上交わることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レジェンドリアン部分多様体が、必ずあるリーブ特徴的曲線と2回以上交わる条件は何か？
• RQ2 複素射影空間内の正則な閉じたコイズォトロピック部分多様体の最小作用の鋭い上界は何か？
• RQ3 接触形式が R^{2n} × (正確なシンプレクティック多様体) にうまく埋め込めるという条件を、どのようにしてグローバルな力学的制約を導出するのに用いることができるか？
• RQ4 コイズォトロピック部分多様体の作用上界から、プレシンプレクティック埋め込みに生じる障害は何か？
• RQ5 接触形式の動的および幾何的制約のもとで、アーノルド・コード性質を厳密な形に強化できるか？

主な発見

• 複素射影空間内の任意の正則な閉じたコイズォトロピック部分多様体の最小作用は、π/2 以下である。
• 厳密なアーノルド・コード性質が成立する：与えられた条件下で、任意の閉じたレジェンドリアン部分多様体は、あるリーブ特徴的曲線と少なくとも2回交わる。
• 作用上界は、複素射影空間へのプレシンプレクティック埋め込みに対する新たな障害を示す。
• この結果は、定理の仮定のもとで最適な、鋭い最小作用の上界を与える。
• この手法により、コイズォトロピック部分多様体の作用上界を介して、ラグラジアン埋め込みに対する新たな障害が得られる。
• 「よい埋め込み条件」により、接触形式の幾何に十分な制御が得られ、グローバルな交差性および作用に関する結果を導出できる。