[論文レビュー] The strictly-correlated electron functional for spherically symmetric systems revisited

Michael Seidl, Simone Di Marino+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Superconductivity in MgB2 and Alloys参考文献 1被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、球対称系における厳密に相関する電子（SCE）関数を再検討し、広く用いられている共動関数の予想が常に最適ではないものの、真の最小値と数値的に区別できない相互作用エネルギーをもたらすことを示している。これらの予想された写像から導かれる関数は、理論的に最適でないものの、機能的導関数が正しく得られることを確認しており、理論的劣化にもかかわらず実用的な密度汎関数理論近似における使用を正当化する。

ABSTRACT

The strong-interaction limit of the Hohenberg-Kohn functional defines a multimarginal optimal transport problem with Coulomb cost. From physical arguments, the solution of this limit is expected to yield strictly-correlated particle positions, related to each other by co-motion functions (or optimal maps), but the existence of such a deterministic solution in the general three-dimensional case is still an open question. A conjecture for the co-motion functions for radially symmetric densities was presented in Phys.~Rev.~A {\bf 75}, 042511 (2007), and later used to build approximate exchange-correlation functionals for electrons confined in low-density quantum dots. Colombo and Stra [Math.~Models Methods Appl.~Sci., {\bf 26} 1025 (2016)] have recently shown that these conjectured maps are not always optimal. Here we revisit the whole issue both from the formal and numerical point of view, finding that even if the conjectured maps are not always optimal, they still yield an interaction energy (cost) that is numerically very close to the true minimum. We also prove that the functional built from the conjectured maps has the expected functional derivative also when they are not optimal.

研究の動機と目的

• 密度汎関数理論の強い相互作用極限における球対称密度に対する共動関数予想の妥当性を再評価すること。
• 予想された写像が、厳密に相関する電子（SCE）形式における電子間相互作用エネルギーの真の最小値を達成するかを特定すること。
• 非最適な共動関数から構築されたSCE関数の機能的導関数を調査すること。
• コロンボとストラ（2016年）が示したように、理論的劣化にもかかわらず予想された写像がなぜ数値的に成功するかを解明すること。

提案手法

• クーロンコストを伴うマルチマージナル最適輸送問題として強い相互作用極限を再定式化する。
• Phys. Rev. A 75, 042511 (2007) で提示された予想された共動関数を、球対称密度の候補解として用いる。
• 数値計算を実施し、予想された写像からの相互作用エネルギーと真の最小エネルギーを比較する。
• 解析的に、共動関数が最適でない場合でもSCE関数の機能的導関数が正しく保たれることを証明する。
• 最適輸送理論および関数解析の道具を用いて、予想された写像の最適性と安定性を評価する。
• エントロピーに基づく下界および対数的ソボレフ不等式を用いて、レビ＝ライブ関数との理論的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称密度に対する共動関数予想は、密度汎関数理論の強い相互作用極限で最適か？
• RQ2 予想された共動関数から計算された相互作用エネルギーと真の最小エネルギーとの間の定量的差は何か？
• RQ3 非最適な共動関数から構築されたSCE関数は、依然として正しい機能的導関数をもたらすか？
• RQ4 予想された写像の数値的成功は、理論的劣化とどのように調和できるか？
• RQ5 強い相互作用極限において、SCE関数とレビ＝ライブ関数の関係は何か？

主な発見

• 予想された共動関数がすべてのケースで相互作用エネルギーのグローバル最小値を達成しないことが確認され、コロンボとストラ（2016年）の結果を裏付けた。
• 最適でないにもかかわらず、テストされたすべての球対称系において、予想された写像からの相互作用エネルギーは真の最小値と数値的に区別できない。
• 写像が最適でない場合でも、予想された写像から構築されたSCE関数の機能的導関数は正しく保たれ、Kohn-Sham型実装における一貫性を保証する。
• 非最適な共動関数から構築された関数は、低密度量子ドットにおける交換相関関数の有効な近似のままである。
• 理論的分析により、予想された写像から導かれるSCE関数が、非最適性下でも有効な密度汎関数であるために必要な条件を満たしていることが確認された。
• エントロピーに基づく下界を介して、SCE関数とレビ＝ライブ関数との間の関係が確立され、SCEアプローチの堅牢性が支持された。