[論文レビュー] The structure of automorphic loops

Michael Kinyon, Ken Kunen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

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ひとこと要約

この論文は、すべての内部写像が自己同型であるようなループ（自己同型ループ）の基礎的結果を確立し、奇数位数の特徴的2除法性を持つループに焦点を当てる。GlaubermanのBruckループ構成法とWrightのLie環手法を応用することで、有限の自己同型ループが奇数位数である場合、可解性、ラグランジュの定理およびコーシーの定理を満たし、ループ位数を割る各素数 $ p $ に対して位数 $ p $ の元を含むことが示され、2500未満の位数では有限の単純で非結合的でない自己同型ループは存在しないことが示された。

ABSTRACT

Automorphic loops are loops in which all inner mappings are automorphisms. This variety of loops includes, for instance, groups and commutative Moufang loops. We study uniquely 2-divisible automorphic loops, particularly automorphic loops of odd order, from the point of view of the associated Bruck loops (motivated by Glauberman's work on uniquely 2-divisible Moufang loops) and the associated Lie rings (motivated by a construction of Wright). We prove that every automorphic loop $Q$ of odd order is solvable, contains an element of order $p$ for every prime $p$ dividing $|Q|$, and $|S|$ divides $|Q|$ for every subloop $S$ of $Q$. There are no finite simple nonassociative commutative automorphic loops, and there are no finite simple nonassociative automorphic loops of order less than 2500. We show that if $Q$ is a finite simple nonassociative automorphic loop then the socle of the multiplication group of $Q$ is not regular. The existence of a finite simple nonassociative automorphic loop remains open. Let $p$ be an odd prime. Automorphic loops of order $p$ or $p^2$ are groups, but there exist nonassociative automorphic loops of order $p^3$, some with trivial nucleus (center) and of exponent $p$. We construct nonassociative "dihedral" automorphic loops of order $2n$ for every $n>2$, and show that there are precisely $p-2$ nonassociative automorphic loops of order $2p$, all of them dihedral.

研究の動機と目的

• 自己同型ループ、特に奇数位数の自己同型ループに対する構造定理を確立し、Moufangループや可換ループの結果を拡張すること。
• 有限の単純で非結合的でない自己同型ループの存在を調査すること。これはループ理論における主要な未解決問題である。
• 導来代数的および群論的技法を用いて、奇数位数の有限自己同型ループに対してラグランジュ、コーシーおよび可解性の定理を証明すること。
• 例えば $ 2p $ や $ p^3 $ のような小さな位数の非結合的自己同型ループを分類し、二面体ループのような族を構成すること。
• 乗法群のソープルとその構造が単純な自己同型ループに与える役割を調査すること。

提案手法

• GlaubermanのBruckループ構成法を、新しい演算 $ x ullet y = (x^{-1} ackslash (y^2 x))^{1/2} $ を定義することで、特徴的2除法性を持つ自己同型ループに適応し、Bruckループ構造を導出する。
• コア演算 $ x * y = x^{-1} ackslash (y^{-1} x) $ を用いて、$ P_Q = \{ P_x \mid x \in Q \} $ というねじれ部分群を定義し、$ P_x = R_x L_{x^{-1}}^{-1} $ とし、$ P_x P_y P_y = P_{y P_x} $ および $ P_x^n = P_{x^n} $ を満たす。
• Bruckループの演算をねじれ部分群 $ P_Q $ から元のループ $ Q $ に戻すことで、Bruckループに関する既知の結果を自己同型ループに適用可能にする。
• WrightのLie環からループを構成する手法を用いて、特に $ p $-ループおよび可解性の文脈で自己同型ループの局所構造を研究する。
• Prover9およびMace4を用いた群論的ツールを活用し、特に部分ループ構造および自己同型の性質に関する恒等式の検証と予想の検証を行う。
• 乗法群のソープルの概念を用いて、非結合的自己同型ループにおける単純性の可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の自己同型ループが奇数位数である場合、ラグランジュおよびコーシーの定理を満たし、可解であるか？
• RQ2 有限の単純で非結合的でない自己同型ループは存在するか？もし存在するならば、最小の可能な位数は何か？
• RQ3 有限の自己同型ループにおいて、すべての元の位数がループの位数を割るか？
• RQ4 奇数素数 $ p $ に対して、位数 $ 2p $ の自己同型ループは完全に分類可能か？非同型な非結合的例はいくつ存在するか？
• RQ5 有限の単純で非結合的でない自己同型ループの乗法群のソープルは正則であるか？これは単純性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• すべての奇数位数の有限自己同型ループは可解であり、GlaubermanのBruckループに関する結果を自己同型の文脈に拡張した。
• すべての奇数位数の有限自己同型ループはコーシーの定理を満たす：$ |Q| $ を割る各素数 $ p $ に対して、位数 $ p $ の元が存在する。
• すべての奇数位数の有限自己同型ループはラグランジュの定理を満たす：すべての部分ループの位数はループの位数を割る。
• 有限の単純で非結合的でない可換自己同型ループは存在せず、2500未満の位数では同様のループは存在しない。
• 奇数素数 $ p $ に対して、核が自明で、指数が $ p $ であるような非結合的自己同型ループが位数 $ p^3 $ に存在し、非結合的であることがこの位数で可能であることを示した。
• 位数 $ 2p $ の非結合的自己同型ループは正確に $ p - 2 $ 個存在し、すべてが二面体ループであり、すべて $ D_{2p}(c) $ に同型である（$ 1 \leq c < p $）。