[논문 리뷰] The symplectic 2-form and Poisson bracket of null canonical gravity

Michael Reisenberger|ArXiv.org|2007. 03. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 진공 일반 상대성 이론에서 두 개의 교차하는 광선 표면으로 이루어진 초기 데이터 초표면에 대해 페일러스의 규정을 사용하여 관측 가능량을 정의하고, 심플렉틱 2형식의 일반화된 역행렬을 유도하여 모든 자유 초기 데이터 성분에 대한 명시적 브라켓을 도출함으로써, 포아송 브라켓을 구성한다. 주요 결과는 모든 초기 데이터 변수 간의 닫힌 형태의 브라켓 표현이지만, 자코비 항등식을 만족하지 않아 표준이 아닌 포아송 구조임을 시사한다. 다만 관측 가능량에 대해 페일러스 브라켓을 정확히 재현한다.

ABSTRACT

It is well known that free (unconstrained) initial data for the gravitational field in general relativity can be identified on an initial hypersurface consisting of two intersecting null hypersurfaces. Here the phase space of vacuum general relativity associated with such an initial data hypersurface is defined; a Poisson bracket is defined, via Peierls' prescription, on sufficiently regular functions on this phase space, called ``observables''; and a bracket on initial data is defined so that it reproduces the Peierls bracket between observables when these are expressed in terms of the initial data. The brackets between all elements of a free initial data set are calculated explicitly. The bracket on initial data presented here has all the characteristics of a Poisson bracket except that it does not satisfy the Jacobi relations (even though the brackets between the observables do). The initial data set used is closely related to that of Sachs. However, one significant difference is that it includes a ``new'' pair of degrees of freedom on the intersection of the two null hypersurfaces which are present but quite hidden in Sachs' formalism. As a step in the calculation an explicit expression for the symplectic 2-form in terms of these free initial data is obtained.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 교차하는 광선 표면으로 이루어진 조각별 광선 초표면에서의 진공 일반 상대성 이론의 위상공간에 대해 초기 데이터를 사용하여 포아송 브라켓을 정의하는 것.
• 관측 가능량 간의 페일러스 브라켓을 초기 데이터로 표현했을 때 그와 일치하는 초기 데이터 집합 위의 브라켓을 구성하는 것.
• 사크스의 원래 형식론에 존재하지 않던, 광선 초표면의 교차선에서의 새로운 한 쌍의 자유도를 식별하고 포함하는 것.
• 자유 초기 데이터로 표현된 심플렉틱 2형식의 명시적 표현을 도출하여 브라켓을 구성하는 것.
• 초기 데이터 위에 진정한 포아송 브라켓(자코비 항등식을 만족하는)을 찾을 수 있는지, 그러나 관측 가능량에 대해 페일러스 브라켓을 여전히 재현하는지 조사하는 것.

제안 방법

• 논문은 장이나 시간 게이지 선택에 의존하지 않는, 미분형식 불변 함수(관측 가능량)의 가군에 대해 페일러스 규정을 사용하여 포아송 브라켓을 정의한다.
• 관측 가능량 간의 브라켓이 페일러스 브라켓과 일치하도록 하기 위해, 초기 데이터 집합 위에서 심플렉틱 2형식의 일반화된 역행렬을 구성한다.
• 자유 초기 데이터, 특히 동형 2계량과 광선 교차선에서의 새로운 자유도를 포함하여, 심플렉틱 2형식을 명시적으로 유도한다.
• 선형화된 아인슈타인 방정식을 후행 및 전행 그린 함수를 사용하여 풀며, 변형을 단순화하기 위해 횡방향 게이지 조건을 적용한다.
• 광선 초표면을 곡률이 발생하지 않도록 잘라내기 때문에 경계항이 중요해지며, 이에 따라 진정한 역행렬이 아닌 일반화된 역행렬을 사용한다.
• 브라켓은 그린 함수와 경계 적분을 포함하는 적분 표현을 사용하여, 메트릭의 변형을 광선 초표면의 데이터로 표현함으로써 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진공 일반 상대성 이론에서 두 개의 교차하는 광선 표면으로 이루어진 초기 데이터 초표면에 대해 닫힌 형태의 포아송 브라켓을 구성할 수 있는가?
• RQ2 초기 데이터로 표현된 관측 가능량 간의 브라켓이 페일러스 브라켓을 재현하는가?
• RQ3 광선 초표면의 교차선에서의 새로운 자유도 쌍은 어떤 역할을 하는가? 그리고 그들은 심플렉틱 구조에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 유도된 브라켓이 자코비 항등식을 만족하지 못하는 이유는 무엇이며, 이는 근본적인 장애일까, 아니면 사용된 방법의 결과일까?
• RQ5 관측 가능량에 대해 페일러스 브라켓을 여전히 재현하는 진정한 포아송 브라켓을 초기 데이터 위에서 찾을 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 조각별 광선 초표면에서의 진공 일반 상대성 이론에 대해, 완전한 자유 초기 데이터 집합의 모든 성분 간에 명시적 닫힌 형태의 포아송 브라켓 표현을 도출한다.
• 서로 다른 점에서의 동형 2계량 간의 브라켓은 감비니와 레스투차의 시리즈를 합산했을 때의 펌더티브 결과와 일치하며, 이는 접근법의 타당성을 검증한다.
• 두 광선 초표면의 교차선에서 존재하지만 사크스의 형식론에서는 드러나지 않는 새로운 자유도 쌍이 식별된다.
• 자유 초기 데이터, 즉 동형 2계량과 교차선의 새로운 변수를 포함하여 심플렉틱 2형식을 명시적으로 계산한다.
• 유도된 초기 데이터 위의 브라켓은 관측 가능량에 대해 페일러스 브라켓을 정확히 재현하지만, 자코비 항등식을 만족하지 못한다.
• 자코비 항등식 위반은 광선 초표면을 곡률을 피하기 위해 잘라내기 때문에 발생하며, 이로 인해 심플렉틱 2형식이 진정한 역행렬을 갖지 못하고 일반화된 역행렬이 필요해지는 데 기인한다.