[論文レビュー] The Symplectic Structure of General Relativity in the Double-Null (2+2) Formalism

Richard J. Epp|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 1995

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、時空を空間的2次元超曲面の2パラメータ族で断片化する2+2形式の二重光線（double-null）形式において、一般相対性理論のシンプレクティック構造を導出する。重力の物理的自由度2つが、2次元超曲面に沿った光線法線のねじれ（twist）に自然に符号化されていることを特定し、特徴的初期値問題を用いて、標準的な共形2次元計量（せん断）変数へと正準変換を確立する。

ABSTRACT

In the (2+2) formulation of general relativity spacetime is foliated by a two-parameter family of spacelike 2-surfaces (instead of the more usual one-parameter family of spacelike 3-surfaces). In a partially gauge-fixed setting (double-null gauge), I write down the symplectic structure of general relativity in terms of intrinsic and extrinsic quantities associated with these 2-surfaces. This leads to an identification of the reduced phase space degrees of freedom. In particular, I show that the two physical degrees of freedom of general relativity are naturally encoded in a quantity closely related to the twist of the pair of null normals to the 2-surfaces. By considering the characteristic initial-value problem I establish a canonical transformation between these and the more usually quoted conformal 2-metric (or shear) degrees of freedom. (This paper is based on a talk given at the Fifth Midwest Relativity Conference, Milwaukee, USA.)

研究の動機と目的

• 時空を空間的2次元超曲面の2パラメータ族で断片化する(2+2)形式を用いて、一般相対性理論のシンプレクティック構造を定式化すること。
• 部分的にゲージ固定された二重光線設定における、縮約された位相空間の自由度を同定すること。
• 一般相対性理論の2つの物理的自由度が、2次元超曲面の光線法線のねじれに自然に符号化されていることの特定。
• ねじれに基づく変数と従来の共形2次元計量（せん断）自由度の間の正準変換を確立すること。
• 一般相対性理論における特徴的初期値問題のための幾何的かつ正準的枠組みを提供すること。

提案手法

• 時空を3次元超曲面ではなく、空間的2次元超曲面の2パラメータ族で断片化する(2+2)形式を採用する。
• 微分同相変換の自由度の一部を固定するため、二重光線ゲージ条件を導入し、シンプレクティック構造を単純化する。
• 2次元超曲面に関連する内挿計量や第二基本形式などの幾何的量を用いて、シンプレクティック構造を表現する。
• 2次元超曲面の光線法線ベクトルのねじれを用いて、物理的自由度を同定する。
• 特徴的初期値問題を用いて、ねじれに基づく変数と標準的な共形2次元計量（せん断）変数との関係を確立する。
• ねじれ変数とせん断変数の間の正準変換を導出し、位相空間記述における等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のシンプレクティック構造は、二重光線（2+2）形式においてどのように定式化できるか？
• RQ2 この形式における縮約位相空間の自由度は何か？ そして、それらは幾何学的にどのように解釈されるか？
• RQ3 光線法線のねじれは、重力の物理的自由度とどのように関係しているか？
• RQ4 ねじれに基づく変数と従来の共形2次元計量（せん断）変数との間で正準変換を確立できるか？
• RQ5 特徴的初期値問題は、この枠組みにおける物理的自由度の同定をどのように支援するか？

主な発見

• 一般相対性理論の2つの物理的自由度は、二重光線形式における2次元超曲面の光線法線のペアのねじれに自然に符号化されている。
• 二重光線ゲージ条件の下で、シンプレクティック構造は2次元超曲面の内挿的および外挿的幾何的データ（計量や第二基本形式など）のみで完全に表現可能である。
• ねじれに基づく変数と標準的な共形2次元計量（せん断）変数との間の正準変換が確立され、2つの異なる位相空間記述が結びつけられた。
• 特徴的初期値問題は、系の進化と正準変数の同定を一貫して行うための枠組みを提供する。
• この形式は、重力自由度の幾何学的に明確な同定を可能にし、光線幾何学の役割を強調する。
• 結果として、(2+2)形式が正準重力理論に対して一貫していることが確認され、一般相対性理論の位相空間構造について、新たな視点が得られた。