[論文レビュー] The Tandem Duplication Distance Is NP-Hard

Manuel Lafond, Binhai Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

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ひとこと要約

この論文は、2つの文字列間のタンデム重複（TD）距離を計算することは、元の文字列が例示的（すべての文字が異なり）である場合でさえもNP困難であることを証明し、2004年以降長らく未解決であった問題を解決した。著者らは、新たな問題であるコスト効率の良い部分グラフを介した新しい還元を導入し、さらに、重複回数kをパrameterとする場合に、例示的TD距離が固定パrameter可 tractable（FPT）であることを示した。この場合のアルゴリズムの実行時間は2^O(k²)であり、指数的サイズのカーネルを用いる。

ABSTRACT

In computational biology, tandem duplication is an important biological phenomenon which can occur either at the genome or at the DNA level. A tandem duplication takes a copy of a genome segment and inserts it right after the segment - this can be represented as the string operation AXB ⇒ AXXB. Tandem exon duplications have been found in many species such as human, fly or worm, and have been largely studied in computational biology. The Tandem Duplication (TD) distance problem we investigate in this paper is defined as follows: given two strings S and T over the same alphabet, compute the smallest sequence of tandem duplications required to convert S to T. The natural question of whether the TD distance can be computed in polynomial time was posed in 2004 by Leupold et al. and had remained open, despite the fact that tandem duplications have received much attention ever since. In this paper, we prove that this problem is NP-hard, settling the 16-year old open problem. We further show that this hardness holds even if all characters of S are distinct. This is known as the exemplar TD distance, which is of special relevance in bioinformatics. One of the tools we develop for the reduction is a new problem called the Cost-Effective Subgraph, for which we obtain W[1]-hardness results that might be of independent interest. We finally show that computing the exemplar TD distance between S and T is fixed-parameter tractable. Our results open the door to many other questions, and we conclude with several open problems.

研究の動機と目的

• Leupoldたちは2004年に提起した、タンデーム重複（TD）距離問題の計算複雑性に関する未解決問題を解決すること。
• 文字列Sを文字列Tに変換するために必要な最小のタンデーム重複の数を計算することは、Sが例示的（すべての文字が異なり）である場合でさえもNP困難であることを確立すること。
• 還元の技術的ツールとして、新たな問題であるコスト効率の良い部分グラフを考案し、それがW[1]-困難であることを示すこと。
• 重複回数kをパrameterとする場合に、例示的TD距離問題が固定パrameter可 tractable（FPT）であることを証明すること。

提案手法

• TD距離問題のNP困難性を、新たに導入された問題であるコスト効率の良い部分グラフに還元した。この問題は、グラフにおける頂点の部分集合を選択し、エッジカバレッジと部分集合のサイズのバランスをとるコスト関数を最小化することを目的としている。
• 最大の(S,T)-安定部分文字列の構造的解析を用いて、dist_TD(S,T) ≤ k ならば、このような部分文字列は高々2k + 1個であることを示した。これによりカーネル化が可能になった。
• 各最大(S,T)-安定部分文字列を一意な文字に縮約することで、カーネル(S′, T′)を構築した。これにより、S′のサイズは高々2k + 1、T′のサイズは高々(2k + 1)^{2k}に削減された。
• カーネル上でブルートフォースアルゴリズムを適用し、2^{O(k²)} + poly(n)の時間で例示的k-TD問題を解いた。これはカーネルのサイズが有界であることに依存している。
• コスト効率の良い部分グラフ問題が、パrameter p + c（pは上限c|E(G)|に対する節約量）でW[1]-困難であることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タンデーム重複距離問題は、元の文字列が例示的（つまりすべての文字が異なる）である場合でさえもNP困難か？
• RQ2 SをTに変換するために必要な最小のタンデーム重複の数を多項式時間で計算できるか？
• RQ3 重複回数kをパrameterとする場合に、例示的TD距離問題は固定パrameter可 tractable（FPT）アルゴリズムを有するか？
• RQ4 例示的k-TD問題に対して多項式サイズのカーネルが存在するか？
• RQ5 Sをタンデーム重複によってTに変換可能かどうかを決定する問題は多項式時間で解けるか？

主な発見

• タンデーム重複距離問題は、元の文字列Sが例示的である場合でさえもNP困難である。2004年の未解決問題が解決された。
• この困難性の結果は、Sのすべての文字が異なる場合にも成立し、特に重複前のゲノムをモデル化するバイオインフォマティクスにおいて重要な意義を持つ。
• 著者らは、W[1]-困難であることが示された新たな問題、コスト効率の良い部分グラフを考案・分析し、NP困難性還元の主要な構成要素として用いた。
• 重複回数kをパrameterとする場合に、例示的TD距離問題は固定パrameter可 tractable（FPT）である。実行時間は2^{O(k²)} + poly(n)であり、指数的サイズのカーネルを用いて達成された。
• カーネル化プロセスにより、入力文字列SとTは、それぞれ高々2k + 1および(2k + 1)^{2k}のサイズを持つ等価な文字列S′とT′に削減された。この過程で必要な重複回数は保持された。
• 本論文では、k-TD問題がkのみでFPTかどうか、多項式サイズのカーネルを有するかどうか、および固定アルファベットサイズではPに属するかどうかは未解決のまま残されている。