[论文解读] The tangent bundle of a model category

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文为模型范畴 M 构造了一个模型范畴意义上的切丛 TM → M，其呈现了底层 ∞-范畴 M∞ 的 ∞-范畴切丛。它将 TM 建立为相对于 M 的相对模型范畴，其纤维在过范畴 M/A 中模型化谱空间，并证明当 M 在合适的范畴 S 上张量化时，TM 会继承 enriched 结构，从而在 operad 上的代数和 enriched 范畴中实现应用。

ABSTRACT

This paper studies the homotopy theory of parameterized spectrum objects in a model category from a global point of view. More precisely, for a model category $\mathcal{M}$ satisfying suitable conditions, we construct a relative model category $\mathcal{TM} o \mathcal{M}$, called the tangent bundle, whose fibers are models for spectra in the various over-categories of $\mathcal{M}$, and which presents the $\infty$-categorical tangent bundle. Moreover, the tangent bundle $\mathcal{TM}$ inherits an enriched model structure when such a structure exists on $\mathcal{M}$. This additional structure is used in subsequent work to identify the tangent bundles of algebras over an operad and of enriched categories.

研究动机与目标

• 为模型范畴 M 中参数化谱的同伦理论发展一个全局的、模型范畴框架。
• 构造一个相对于 M 的相对模型范畴 TM → M，其纤维在过范畴 M/A 中模型化谱空间，从而呈现 M∞ 的 ∞-范畴切丛。
• 证明当 M 在合适的模型范畴 S 上张量化时，TM 会继承 enriched 模型结构，从而便于在 operad 上的代数和 enriched 范畴中的应用。
• 在模型范畴切丛 TM 与 ∞-范畴切丛 ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) 之间建立比较，证明二者等价。
• 在不依赖单纯或 Quillen 伴随结构的前提下，建立模型范畴中谱范畴与 M∞ 的 ∞-范畴稳定化的 Quillen 等价。

提出的方法

• 通过 (N × N)-图，其中非对角线项为弱零对象，对角线正方形为同伦 Cartesian，来定义 M 中的谱对象。
• 构造此类谱对象的模型范畴 Sp(M)，并证明其通过 ∞-范畴等价呈现了 M∞ 的稳定化。
• 将切丛 TM 定义为在 M × M 上使用全局图范畴构造的相对于 M 的相对模型范畴。
• 证明 TM 在对象 A ∈ M 上的纤维等价于 Sp(MA//A)，从而在 A 处模型化 ∞-范畴切 ∞-范畴。
• 利用相对范畴与 Quillen 伴随的理论，证明投影 π: TM → M 展现了 TM 作为 ∞-范畴切丛的模型。
• 当 M 在对称单幕模型范畴 S 上张量化时，建立 TM 继承 S-enriched 模型结构，从而支持 enriched 同伦理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖单纯或 Quillen 伴随结构的前提下，为 ∞-范畴 M∞ 的 ∞-范畴切丛构造一个模型范畴表示？
• RQ2 何种条件可确保 M 中谱对象的模型范畴呈现 M∞ 的稳定化？
• RQ3 当 M 在对称单幕模型范畴上张量化时，能否为模型范畴 M 的切丛配备 enriched 模型结构？
• RQ4 模型范畴切丛 TM 与 ∞-范畴切丛 ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) 之间有何关系？
• RQ5 Ω-谱与约化 excisive 函子在模型范畴设定下比较不同稳定化模型时起何作用？

主要发现

• 模型范畴 TM → M 被构造为一个相对模型范畴，其在每个对象 A ∈ M 上的纤维等价于 M/A 中谱范畴的模型范畴，从而在 A 处呈现了 ∞-范畴切 ∞-范畴。
• TM 的构造不依赖于悬停与环路函子的 Quillen 伴随结构的存在，使其适用于非单纯情境，如 enriched 范畴与 operad。
• 当 M 是左拟紧且组合的模型范畴时，诱导的 ∞-函子 π∞: (TM)∞ → M∞ 展现了 (TM)∞ 为 M∞ 的切丛，确认其与 Lurie 的 ∞-范畴框架兼容。
• M∞ 的稳定化由 MN×N 中 Ω-谱的全子范畴 Sp′(M) 模型化，且该模型与 Sp(M) Quillen 等价，从而提供了一个通用的稳定化构造。
• 若 M 在对称单幕模型范畴 S 上张量化，则 TM 继承 S-enriched 模型结构，这对分析 operad 上代数与 enriched 范畴的切范畴至关重要。
• 通过 (TM)∞ 与 ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) 之间的 Quillen 等价，建立了模型范畴与 ∞-范畴切丛之间的比较，确认了该构造的正确性。