[論文レビュー] The Theorem of Ostrogradsky

R. P. Woodard|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 81

ひとこと要約

この論文は、古典場理論における非退化した高次導関数ラグランジアンが、線形不安定性を示すハミルトニアンを生じることを示すオストログラドスキーの定理をレビューする。その結果、このような理論は根本的相互作用を有する量子場理論には不適切である。主な貢献は、このような理論がゴースト的不安定性を避けられず、理論的に可能な根本的場理論に対する最も強い制限をもたらす、きめ細やかな証明である。

ABSTRACT

Ostrogradsky's construction of a Hamiltonian formalism for nondegenerate higher derivative Lagrangians is reviewed. The resulting instability imposes by far the most powerful restriction on fundamental, interacting, continuum Lagrangian field theories. A discussion is given of the problems raised by attempts to evade this restriction.

研究の動機と目的

• 非退化した高次導関数ラグランジアンに対するオストログラドスキーのハミルトニアン構成をレビューし、明確化すること。
• このような理論が線形不安定性を示すという根本的な帰結を強調すること。その結果、それらは根本的物理学には不適切である。
• 制約や摂動的切り捨てによる不安定性回避の試みを検討し、場理論におけるその妥当性を評価すること。
• この定理が量子重力や修正重力理論における高次導関数モデルを除外する中心的役割を確立すること。
• 奇数階導関数系への定理の最近の拡張と、場理論の基礎に与える影響を議論すること。

提案手法

• 時間微分の次数がNであるラグランジアンに一般化されたハミルトニアンの構成を適用し、高次導関数系の正準形式を導出する。
• 各微分次数に対して正準変数 $ X_i $ と $ P_i $ を導入し、微分次数が増えるごとに自由度が2倍になることを示す。
• ルジャンドル変換によりハミルトニアンを構成し、最高階微分の運動量に対して線形依存性があることを明らかにし、エネルギーが下から有界でなくなる原因となる。
• 不安定モードを排除するために制約を課す摂動的切り捨てスキームを分析し、その一貫性が摂動級数の収束に依存することを示す。
• 高次導関数調和振動子や重力場中の粒子といった具体的なモデルにこの形式を適用し、不安定性と切り捨ての挙動を説明する。
• 場理論への拡張において、3+1次元での収束の失敗と、相互作用系では一貫した制約の導入が不可能であることを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化した高次導関数ラグランジアンがなぜ必然的に線形不安定性を示すハミルトニアンを生じるのか？
• RQ2 相互作用を伴う場理論において、摂動的切り捨てや制約の導入によってオストログラドスキー不安定性を一貫して回避できるか？
• RQ3 この定理が量子重力や修正重力の妥当なモデルに与える影響は何か？
• RQ4 不安定性は具体的な高次導関数場理論でどのように現れるのか。対称性や非局所性によって回避可能か？
• RQ5 奇数階導関数系への定理の最近の一般化は、妥当な場理論の領域をどの程度変化させるか？

主な発見

• 非退化した高次導関数ラグランジアンは、最高階微分の運動量に対して線形依存性を示すため、エネルギーが下から有界でなくなる線形不安定性を示すハミルトニアンを生じる。
• 正準自由度の数は、時間微分の次数が増えるごとに2倍になり、物理的でないモードが増加する。
• 摂動的切り捨てにより、摂動級数が収束する限り、安定な2次理論に回復可能であるが、これは相互作用を伴う3+1次元場理論では未だ知られていない。
• 高次導関数調和振動子のモデルでは、摂動的アプローチにより周波数 $ k_+^2 = u^2[1 + u + 2 u^2 + O( u^3)] $ の安定解が得られ、$ k_-^2 o u^{-2} $ となる不安定モードは無視される。
• 高次導関数補正を伴う重力場中の粒子では、有効加速度が $ rac{g}{2 u}[1 - u] $ となり、この力学的系では収束が確認される。
• 相互作用を伴う3+1次元場理論で、一貫した制約の導入によりオストログラドスキー不安定性を回避できる例は知られておらず、この定理が理論的可能な量子場理論を制限する根本的役割を果たしていることを強調する。