[論文レビュー] The theory and practice of Reedy categories

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、重み付きコロイドとライブニッツ構成を用いて、リーディー圏とそのホモトピー理論における役割について洗練され、理解しやすい記述を提供する。セルラーフィルトレーションとスケルタルフィルトレーションを用いて、単体的モデル圏における幾何的実現とトータル化のホモトピー不変性を簡潔に証明し、ホモトピー極限とコロイドを統一的に理解する枠組みを提示する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to demystify the role played by the Reedy category axioms in homotopy theory. With no assumed prerequisites beyond a healthy appetite for category theoretic arguments, we present streamlined proofs of a number of useful technical results, which are well known to folklore but difficult to find in the literature. While the results presented here are not new, our approach to their proofs is somewhat novel. Specifically, we reduce the much of the hard work involved to simpler computations involving weighted colimits and Leibniz (pushout-product) constructions. The general theory is developed in parallel with examples, which we use to prove that familiar formulae for homotopy limits and colimits indeed have the desired properties.

研究の動機と目的

• リーディー圏の公理を解明し、ホモトピー理論における基礎的役割を明らかにすること。
• 文献に散らばりがちな古典的なホモトピー極限とコロイドに関する結果の、アクセスしやすく洗練された証明を提供すること。
• セルラーフィルトレーションを用いて、単体的モデル圏における幾何的実現とトータル化のホモトピー不変性を確立すること。
• 重み付きコロイドとヤオネタ埋め込みの視点から、スケルトン、コスケルトン、幾何的実現の取り扱いを統一すること。
• 組合せ論的および圏論的道具を用いて、リーディー圏によって添付された図式のホモトープ的性質を理解する一貫性のある枠組みを提示すること。

提案手法

• 複雑なホモトープ的議論を簡略化するために、重み付きコロイドとライブニッツ（プッシュアウト積）構成を主たる技術的道具として用いる。
• $n$-スケルトンと$n$-コスケルトンを、双関手$\Delta: \mathbf{\Delta}^{\mathrm{op}} \times \mathbf{\Delta} \to \mathrm{Set}$の部分関手として定義する。具体的には$\Delta^n = \Delta(-,[n])$および$\partial\Delta^n = {}_{n-1}\Delta(-,[n])$とする。
• 幾何的実現のセル複体表現をプッシュアウトの形$\Delta^n \ast L_nX \cup \partial\Delta^n \ast X_n \to \Delta^n \ast X_n$を用いて構成し、単体的対象のフィルトレーションを形成する。
• coYoneda補題と重み付きコロイドの豊かさ付き連続性を用いて、単体的対象の幾何的実現がそのスケルタルフィルトレーションのコロイドに同型であることを示す。
• 単体的モデル圏の'SM7'公理を活用して、フィルトレーションにおけるプッシュアウトと逐次コロイドのホモトピー不変性を証明する。
• 双対的に同様の枠組みをコ単体的対象に適用し、トータル化のポストニコフツリーに類似した表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーディー圏の公理は、ホモトープ的構成を簡略化するために、どのように体系的に理解され、応用されるべきか？
• RQ2 重み付きコロイドとライブニッツ構成が、幾何的実現のホモトピー不変性を証明する際に果たす正確な役割は何か？
• RQ3 単体的対象のスケルタルフィルトレーションは、弱同値に関してホモトピー不変性を保証するセルラープレゼンテーションをどのように提供するか？
• RQ4 ヤオネタ埋め込みと豊かさ付き連続性は、幾何的実現をコロイドとして特定するためにどのように役立つか？
• RQ5 同じ枠組みを双対化することで、単体的モデル圏におけるコ単体的対象のトータル化についても同様の結果が得られるか？

主な発見

• 完備圏における単体的対象の幾何的実現は、プッシュアウトの形$\Delta^n \ast L_nX \cup \partial\Delta^n \ast X_n \to \Delta^n \ast X_n$によるセル複体表現を備え、その実現にフィルトレーションを誘導する。
• 単体的モデル圏において、単体的対象の幾何的実現は、スケルタルフィルトレーションが被覆複体であるため、ホモトピー不変である。
• 単体的モデル圏におけるコ単体的対象のトータル化は、豊かさ付き極限とライブニッツ構成を用いて構築された双対のポストニコフツリーに類似したフィルトレーションのおかげでホモトピー不変である。
• 単体的集合$Y$と単体的圏内の対象$M$に対して、同型$\Delta \circledast_{\mathbf{\Delta}^{\mathrm{op}}} (Y \ast M) \cong Y \ast M$が成り立つ。これは重み付きコロイドと単体的テンソル積を結びつける。
• $\mathcal{M}^{\mathbf{\Delta}^{\mathrm{op}}}$上のリーディーモデル構造はスケルタルフィルトレーションと整合し、リーディー被覆複体対象のファイブレーション補完はトータル化において弱同値を保存する。
• SM7公理によって保証される被覆複体のプッシュアウトと逐次コロイドのホモトピー不変性から、幾何的実現のホモトピー不変性が導かれる。