[論文レビュー] The Thue choice number versus the Thue chromatic number of graphs

Erika Škrabuľáková|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、グラフのトゥエ彩色数 π(G) とトゥエ選択数 πₗ(G) の関係を調査し、特に木や分割グラフの族において、これらのパラメータが顕著に異なる可能性があることを示している。具体的には、最大次数 ∆ に対して πₗ(G) が超線形的に増大する一方で π(G) は有界のままである。既知の結果を統合し、未解決問題を特定し、あるグラフクラスではトゥエ選択数がトゥエ彩色数よりも任意に大きくなる可能性があることを示している。

ABSTRACT

We say that a vertex colouring $\varphi$ of a graph $G$ is nonrepetitive if there is no positive integer $n$ and a path on $2n$ vertices $v_{1}\ldots v_{2n}$ in $G$ such that the associated sequence of colours $\varphi(v_{1})\ldots\varphi(v_{2n})$ satisfy $\varphi(v_{i})=\varphi(v_{i+n})$ for all $i=1,2,\dots,n$. The minimum number of colours in a nonrepetitive vertex colouring of $G$ is the Thue chromatic number $\pi (G)$. For the case of vertex list colourings the Thue choice number $\pi_{l}(G)$ of $G$ denotes the smallest integer $k$ such that for every list assignment $L:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}}$ with minimum list length at least $k$, there is a nonrepetitive vertex colouring of $G$ from the assigned lists. Recently it was proved that the Thue chromatic number and the Thue choice number of the same graph may have an arbitrary large difference in some classes of graphs. Here we give an overview of the known results where we compare these two parameters for several families of graphs and we also give a list of open problems on this topic.

研究の動機と目的

• さまざまなグラフ族におけるトゥエ彩色数 π(G) とトゥエ選択数 πₗ(G) の比較を行う。
• 特に πₗ(G) が π(G) よりもはるかに速く増大するようなグラフクラスを特定する。
• 確率的および構成的技法を用いた非反復的頂点彩色およびリスト彩色に関する既存の結果を調査する。
• すべてのグラフが非反復的 4-選択可能であるような分割をもつかどうかという未解決問題を強調する。
• 特に頂点および辺のバージョンのトゥエパラメータを区別する用語法と表記法を明確化・標準化する。

提案手法

• 特に木と分割グラフに対して、πₗ(G) の上界を導出するための確率的技法を用いる。
• ラヴェシュの局所的補題やその他の集中不等式を用いて、非反復的リスト彩色の存在を確立する。
• パス幅、最大次数、二部構造などのグラフの構造的性質を分析し、π(G) と πₗ(G) の境界を求める。
• アロンら (2002)、フィオレンツィら (2015)、ドゥイモヴィッチら (2015) の先行研究の結果をレビュー・比較し、用語法と結果を統一する。
• モンテカルロアルゴリズムを用いた近似解法を含め、非反復的彩色問題の計算複雑性を評価するアルゴリズム的手法を用いる。
• パス、サイクル、スターブロック、完全グラフ、平面グラフなどのグラフ族における π(G) と πₗ(G) の既知の正確値および境界を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のグラフ族において、トゥエ選択数 πₗ(G) がトゥエ彩色数 π(G) よりも任意に大きくなることはあるか？
• RQ2 すべてのグラフが非反復的 k-選択可能であるような分割をもつような定数 k が存在するか？
• RQ3 木および外部平面グラフにおいて、π(G) と πₗ(G) の正確な関係は何か？
• RQ4 特定のグラフ族に対して、πₗ(G) を計算または近似する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 与えられた頂点彩色が非反復的であるかどうかを判定する計算複雑性は何か？

主な発見

• n > 3 のパス Pₙ に対して、π(Pₙ) = 3 であるが、πₗ(Pₙ) ≤ 4 であり、わずかだが非自明な差が生じる。
• サイクル Cₙ に対して、n ∉ {5, 7, 9, 10, 14, 17} のとき π(Cₙ) = 3 であり、πₗ(Cₙ) ≤ 5 である。これはリスト選択数が有界であることを示している。
• スターブロック Sₙ に対して、π(Sₙ) = 2 かつ πₗ(Sₙ) = 2 であり、この場合においては等価である。
• 最大次数 ∆ である木 T に対して、π(T) ≤ 4 であるが、πₗ(T) は任意の ε > 0 に対して c∆¹⁺ε まで達する可能性がある。これは超線形増加を示している。
• 完全グラフ Kₙ に対して、π(Kₙ) = n かつ πₗ(Kₙ) = n であり、パラメータは等しい。
• 完全二部グラフ Kₘ,ₙ に対して、π(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1 かつ πₗ(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1 であり、等価である。