[論文レビュー] The topological obstructions to the existence of an irreducible SO(3) structure on a five manifold

Marcin Bobieński|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、5次元の向き付けられた多様体上に非可約な SO(3) 構造が存在するための必要十分な位相的条件を確立している。このような構造が存在するための必要十分条件は、接バンドルが3次元および2次元の自明なバンドルの直和に分解されること、および接バンドルの1番目のポントリャーギン類が5で割り切れるということである。この結果は、次元5におけるこの特殊な幾何的構造に対する完全な障害理論を提供する。

ABSTRACT

A nonstandard (maximal) inclusion SO(3) in SO(5) associated with the irreducible representation ρ_5 of SO(3) in R^5 is considered. The topological obstructions for admitting the SO(3) structure on the frame bundle over 5-manifold are investigated. The necessary and sufficient conditions are formulated.

研究の動機と目的

• 非可約な SO(3) 構造が5次元多様体上に存在するための位相的条件を特定すること。
• 5次元非可約表現に由来する非標準的包含 SO(3) ⊂ SO(5) を用いて、非可約 SO(3) 構造と標準的 SO(3) 構造を区別すること。
• 特徴類を用いて、このような構造の存在に対する完全な障害理論を提供すること。
• 得られた基準を用いて、非自明な5次元多様体の例を構成すること。

提案手法

• SO(3) の5次元非可約表現を用いて、トレースがゼロの対称3×3行列への随伴作用を通じて実現される非標準的包含 ι₅: SO(3) ↪ SO(5) を定義する。
• 任意のベクトル v に対して Υᵥ²v = g(v,v)v を満たす完全に対称でトレースがゼロのランク3テンソル場 Υ を用いて、非可約 SO(3) 構造を定義する。
• 特にポントリャーギン類を含む特徴類理論を適用し、グローバルな位相的障害を導出する。
• de Rham コホホロジーと SO(3) 接続の曲率不変量を用い、関連バンドルのポントリャーギン類の間の関係を、恒等式 p₁(ρ₅(P)) = 5·p₁(ρ₃(P)) を用いて関係づける。
• スペクトル系列と ℤ₂ 係数を用いたスティーナロード代数の構造を用いて、分類空間上の関連バンドルの特徴類を分析する。
• 構造が存在するためには、1番目のポントリャーギン類が5で割り切れることと、接バンドルが E³ ⊕ θ² に分解されることの両方が必要であるという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元多様体上に非可約な SO(3) 構造が存在するための必要十分な位相的条件は何か？
• RQ2 次元5における非可約 SO(3) 構造は、位相的に標準的 SO(3) 構造とどのように異なるか？
• RQ3 1番目のポントリャーギン類は、このような構造の存在を妨げるか、あるいは許容する上で果たす役割は何か？
• RQ4 非自明なコンパクトな5次元多様体で、非可約 SO(3) 構造を許容するものが構成可能か？
• RQ5 SO(3) の5次元表現 ρ₅ による関連バンドルの特徴類は、どのように変換されるか？

主な発見

• 非可約な SO(3) 構造が向き付けられた5次元多様体 M 上に存在するための必要十分条件は、接バンドルが TM = E³ ⊕ θ² に分解され、1番目のポントリャーギン類 p₁(TM) が5で割り切れるということである。
• p₁(TM) ≡ 0 mod 5 であることは、非可約 SO(3) 構造の存在にとって必要かつ十分な条件である。
• 標準的 SO(3) 構造が M = S × S¹ 上に存在するための必要十分条件は、S のオイラー標数 χ(S) が偶数であることである。
• 非可約 SO(3) 構造が M = S × S¹ 上に存在するための必要十分条件は、χ(S) ≡ 0 mod 2 かつ σ(S) ≡ 0 mod 5 であることである。
• 5次元表現を介した関連バンドルのポントリャーギン類は、任意の SO(3) 主バンドル P に対して p₁(ρ₅(P)) = 5·p₁(ρ₃(P)) を満たす。
• 非可約 SO(3) 構造は、任意のベクトル v に対して Υᵥ²v = g(v,v)v を満たす完全に対称でトレースがゼロのテンソル場 Υ によって完全に特徴づけられ、この条件により計量 g が固有値条件によって定義される。